円に内接する場合を考える．（その４）の検算をするまでもなく

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

　　Ｓ＝１／２・ｄ1ｄ2ｓｉｎφ

　　ａｃ＋ｂｄ＝ｄ1ｄ2

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　　Ｓ＝１／２・（ａｃ＋ｂｄ）ｓｉｎφ＝｛（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）｝^1/2

　　１／４・（ａｃ＋ｂｄ）^2ｓｉｎ^2φ＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）

＝１／１６・（−ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ−ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ−ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ）

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［まとめ］円に内接する四角形（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）の対角線の交角φは

ｓｉｎ^2φ＝（−ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ−ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ−ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ）／４（ａｃ＋ｂｄ）^2

で与えられる．

　正方形（ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝１）で検してみると，

　　ｓｉｎ^2φ＝１６／４・４＝１→　φ＝π／２

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