フェルマーは平方数と平方数の倍数の和として表される素数，すなわち

　　□＋ｍ□＝ｐ

に一定の規則性を発見しました．

［１］４ｎ＋１型素数はａ^2＋ｂ^2の形に表されますが，４ｎ＋３型素数は表されません．

［２］３ｎ＋１型素数はａ^2＋３ｂ^2の形に表されますが，３ｎ＋２型素数は表されません．

［３］８ｎ＋１型，８ｎ＋３型素数は

ａ^2＋２ｂ^2の形に表されますが，８ｎ＋５型，８ｎ＋７型素数は表されません．

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【１】フェルマーの定理

　ｐが素数なら，ａ^p−ａはｐで割り切れる．

　ｐが素数なら，ａとｐは互いの素ならば，ａ^p-1−１はｐで割り切れる．

　ｎが素数であることは２^n−１が素数であるための必要条件です．しかし，逆の十分性は成り立ちません．

　　２^2−１＝３　　（素数）

　　２^3−１＝７　　（素数）

　　２^5−１＝３１　　（素数）

　　２^7−１＝１２７　　（素数）

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９　　（非素数）

　　２^13−１＝８１９１　　（素数）

　フェルマーの定理の応用性は高く，

　　２^4−１＝１５　　（非素数）

　　２^6−１＝６３　　（非素数）

　　２^8−１＝２５５　　（非素数）

　　２^9−１＝５１１＝７・７３　　（非素数）

　　２^12−１＝１０２３＝３・３４１　　（非素数）

などはすぐ判定できます．

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【２】レプユニット型素数

　メルセンヌ素数に引き続き，レプユニット型素数について調べてみましょう．

　　１０^6−１＝９９９９９９

＝９・１１１１１１　　（非素数）

＝７・１４２８５７　　（非素数）

の非素数性は明らかですが，

　　（１０^6−１）／９＝１１１１１１＝Ｒ6

は素数でしょうか？

［１］Ｒnは２または５で割り切れない

［２］ｎが３の倍数のとき，Ｒnは３で割り切れる

　　Ｒ6＝３・３７０３７

［３］ｎが６の倍数のとき，Ｒnは７または１３で割り切れる

　　Ｒ6＝７・１５８７３＝１３・８５４７

［４］ｎが２の倍数のとき，Ｒnは１１で割り切れる

　　Ｒ6＝１１・１０１０１

　メルセンヌ素数と同じく，Ｒnが素数ならｎは素数ですが，逆は成り立ちません．たとえば，

　　Ｒ3＝１１１＝３・３７

　現在のところ，レプユニット型素数は

　　Ｒ2，Ｒ19，Ｒ23，Ｒ317，Ｒ1031

だけが知られていますが，メルセンヌ素数のようにいくつあるのか，有限個か無限個さえも知られていません．

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