空間充填１８面体は４軸構造を基本形としていて，４軸はそれぞれ（１０９．４７１°（ｃｏｓθ＝−１／３）をなす．そして，回転対称軸同士が交わらずにねじれの位置にあり，３回対称軸の周りで１２０°回転させると回転操作に伴って４軸がどれかの４軸に平行配置されている様に移るという関係になっている．今回のコラムでは４軸構造を回転操作によって特徴づけることにしたい．
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【１】回転行列
空間を回転させる行列で直交変換となっているパラメータ数が３つの「回転」かつ「直交」行列として
(1)オイラー角に基づくもの
(2)ロール・ピッチ・ヨーに基づくもの
がある．(1)はｚ軸まわりの回転α→新しいｙ軸まわりの回転β→新しいｚ軸まわりの回転γ，(2)はｚ軸まわりの回転φ→新しいｙ軸まわりの回転θ→新しいｘ軸まわりの回転ψの３段階によって表すもので，両者に本質的な違いはない．
ｘ，ｙ，ｚ軸の周りの回転では使いにくいので，任意の軸の周りの回転行列を探してみたところ，単位ベクトル
ｎ＝（α,β,γ）
を回転軸とし，その周りに正の回転方向にθだけ回転する回転行列が見つかった．それはα，β，γは方向余弦で，α^2+β^2+γ^2＝１を満たすものとして
R(1,1)=α^2(1-cosθ)+cosθ
R(2,2)=β^2(1-cosθ)+cosθ
R(3,3)=γ^2(1-cosθ)+cosθ
R(1,2)=αβ(1-cosθ)+γsinθ
R(2,1)=αβ(1-cosθ)-γsinθ
R(1,3)=αγ(1-cosθ)-βsinθ
R(3,1)=αγ(1-cosθ)+βsinθ
R(2,3)=βγ(1-cosθ)+αsinθ
R(3,2)=βγ(1-cosθ)-αsinθ
で表される回転行列である．
回転操作の具体的表式を求めてみよう．θ＝０°のとき，
［１，０，０］
Ｒ＝［０，１，０］
［０，０，１］
θ＝１２０°のとき，
［3α^2/2-1/2，3αβ/2+√3γ/2，3αγ/2-√3β/2］
Ｒ＝［3αβ/2-√3γ/2，3β^2/2-1/2，3βγ/2+√3α/2］
［3αγ/2+√3β/2，3βγ/2-√3α/2，3γ^2/2-1/2］
θ＝−１２０°のとき，
［3α^2/2-1/2，3αβ/2-√3γ/2，3αγ/2+√3β/2］
Ｒ＝［3αβ/2+√3γ/2，3β^2/2-1/2，3βγ/2-√3α/2］
［3αγ/2-√3β/2，3βγ/2+√3α/2，3γ^2/2-1/2］
これらをそれぞれＯ，Ｒ，Ｑとする．
Ａ1＝１／√３［１，１，１］
Ａ2＝１／√３［−１，１，１］
Ａ3＝１／√３［１，−１，１］
Ａ4＝１／√３［１，１，−１］
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［１］ｎ＝Ａ1のとき，α＝１／√３，β＝１／√３，γ＝１／√３
［０，１，０］ ［０，０，１］
Ｒ＝［０，０，１］ Ｑ＝［１，０，０］
［１，０，０］ ［０，１，０］
Ｏ1：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ，ｙ，ｚ）
Ｒ1：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｙ，ｚ，ｘ）
Ｑ1：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｚ，ｘ，ｙ）
また，
Ｏ1：Ａ1→Ａ1，Ａ2→Ａ2，Ａ3→Ａ3，Ａ4→Ａ4
Ｒ1：Ａ1→Ａ1，Ａ2→Ａ4，Ａ3→Ａ2，Ａ4→Ａ3
Ｑ1：Ａ1→Ａ1，Ａ2→Ａ3，Ａ3→Ａ4，Ａ4→Ａ2
［２］ｎ＝Ａ2のとき，α＝−１／√３，β＝１／√３，γ＝１／√３
［０，０，−１］ ［０，−１，０］
Ｒ＝［−１，０，０］ Ｑ＝［０，０，１］
［０，１，０］ ［−１，０，０］
Ｏ2：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ，ｙ，ｚ）
Ｒ2：（ｘ，ｙ，ｚ）→（−ｚ，−ｘ，ｙ）
Ｑ2：（ｘ，ｙ，ｚ）→（−ｙ，ｚ，−ｘ）
また，
Ｏ2：Ａ1→Ａ1，Ａ2→Ａ2，Ａ3→Ａ3，Ａ4→Ａ4
Ｒ2：Ａ1→−Ａ4，Ａ2→Ａ2，Ａ3→−Ａ1，Ａ4→Ａ3
Ｑ2：Ａ1→−Ａ3，Ａ2→Ａ2，Ａ3→Ａ4，Ａ4→−Ａ1
［３］ｎ＝Ａ3のとき，α＝１／√３，β＝−１／√３，γ＝１／√３
［０，０，１］ ［０，−１，０］
Ｒ＝［−１，０，０］ Ｑ＝［０，０，−１］
［０，−１，０］ ［１，０，０］
Ｏ3：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ，ｙ，ｚ）
Ｒ3：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｚ，−ｘ，−ｙ）
Ｑ3：（ｘ，ｙ，ｚ）→（−ｙ，−ｚ，ｘ）
また，
Ｏ3：Ａ1→Ａ1，Ａ2→Ａ2，Ａ3→Ａ3，Ａ4→Ａ4
Ｒ3：Ａ1→−Ａ2，Ａ2→Ａ4，Ａ3→Ａ3，Ａ4→−Ａ1
Ｑ3：Ａ1→−Ａ4，Ａ2→−Ａ1，Ａ3→Ａ3，Ａ4→Ａ2
［４］ｎ＝Ａ4のとき，α＝１／√３，β＝１／√３，γ＝−１／√３
［０，０，−１］ ［０，１，０］
Ｒ＝［１，０，０］ Ｑ＝［０，０，−１］
［０，−１，０］ ［−１，０，０］
Ｏ4：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ，ｙ，ｚ）
Ｒ4：（ｘ，ｙ，ｚ）→（−ｚ，ｘ，−ｙ）
Ｑ4：（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｙ，−ｚ，−ｘ）
また，
Ｏ4：Ａ1→Ａ1，Ａ2→Ａ2，Ａ3→Ａ3，Ａ4→Ａ4
Ｒ4：Ａ1→−Ａ3，Ａ2→−Ａ1，Ａ3→Ａ2，Ａ4→Ａ4
Ｑ4：Ａ1→−Ａ2，Ａ2→Ａ3，Ａ3→−Ａ1，Ａ4→Ａ4
このように４軸をどれかの４軸に重ね合わせる回転操作全体は正４面体群をなし，その位数は１２である．
なお，空間充填１８面体の単位ブロックとなる８個の１８面体の組み上げ方には何種類かあるが，１８面体には８角形面が６面あるため，いずれも１個の周りに６個の１８面体が８角形面で接し，この７個に中心の１８面体と同じ軸のものをもう１個どこかにつけ加えた８個が単位ブロックになっていて，８個のうち２個ずつが同軸になる．
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【２】回転＋平行移動
上記の回転操作は自分自身に移すもの（Ａi→Ａj）であるが，実際の変換では定点ベクトルも含めた
Ｐi＝ｔＡi＋Ｂi
を変換する必要がある．その場合，変換操作の表式は回転操作に平行移動が加わったものになる．
たとえば，Ｐ2＝ｔＡ2＋Ｂ2を回転対称軸とする１２０°回転Ｒ2では，Ｗ＝（ｘ，ｙ，ｚ）は
Ｒ2（Ｗ−Ｂ2）＋Ｂ2＝Ｒ2Ｗ−Ｒ2Ｂ2＋Ｂ2
に移る．したがって，Ｗ＝Ｐ3＝ｔＡ3＋Ｂ3は
Ｒ2Ｐ3−Ｒ2Ｂ2＋Ｂ2＝Ｒ2（ｔＡ3＋Ｂ3）−Ｒ2Ｂ2＋Ｂ2＝−ｔＡ1＋Ｒ2Ｂ3−Ｒ2Ｂ2＋Ｂ2
に移される．Ｒ2Ａ3＝−Ａ1であることは既に求めたが，Ｒ2Ｂ3，Ｒ2Ｂ2も必要となることがわかるだろう．
Ｂ2＝ｄ／√２［０，１，−１］
Ｂ3＝ｄ／√２［−１，０，１］
Ｂ4＝ｄ／√２［１，−１，０］
Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］
Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］
Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］
Ｒ1：Ｂ2→Ｂ4，Ｂ3→Ｂ2，Ｂ4→Ｂ3
Ｑ1：Ｂ2→Ｂ3，Ｂ3→Ｂ4，Ｂ4→Ｂ2
Ｒ2：Ｂ2→Ｂ42，Ｂ3→−Ｂ4，Ｂ4→−Ｂ34
Ｑ2：Ｂ2→−Ｂ23，Ｂ3→Ｂ34，Ｂ4→−Ｂ3
Ｒ3：Ｂ2→−Ｂ42，Ｂ3→Ｂ23，Ｂ4→−Ｂ2
Ｑ3：Ｂ2→−Ｂ4，Ｂ3→−Ｂ34，Ｂ4→Ｂ42
Ｒ4：Ｂ2→−Ｂ3，Ｂ3→−Ｂ23，Ｂ4→Ｂ34
Ｑ4：Ｂ2→Ｂ23，Ｂ3→−Ｂ2，Ｂ4→−Ｂ42
以上で，解析のための道具立てがほぼ出揃ったと考えられる．
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【３】雑感
（その３）において，Ａi⊥ＢiとなるようにＢiを決めたため，
Ｂ2＝ｄ／√２［０，１，−１］
Ｂ3＝ｄ／√２［−１，０，１］
Ｂ4＝ｄ／√２［１，−１，０］
とおいたが，これらはＡ1にも直交することから，
Ｂ21＝ｄ／√２［０，１，−１］
Ｂ31＝ｄ／√２［−１，０，１］
Ｂ41＝ｄ／√２［１，−１，０］
とすべきだったかもしれない．
そうすれば，ＡiとＡjの両方に直交するベクトルをＢijと定めたことと整合性がとれるからである．
Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］
Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］
Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］
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