三角数であり平方数であるものは無限に存在します．それでは，

［１］３角数であり５角数であるものは？

［２］３角数であり６角数であるものは？

［３］３角数かつ５角数かつ６角数であるものは？

などいろいろな問題を作ることができますが，どのようにして解いたらいいでしょうか？

　ちなみに，３角数かつ５角数かつ６角数である最小の数

　　ｎ＝ｐ（ｐ−１）／２＝（３ｑ^2−ｑ）／２＝２ｒ^2−ｒ

は，４０７５５だそうです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］３角数であり平方数であるものは無限に存在します．

（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn−ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１＋√２）^n＝（−１）^n

また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2−２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn−１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　それに対して，

［２］１以外の３角数は立方数ではありません．

　１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^3は，（２ｙ＋１）^2＝（２ｘ）^3＋１と書き換えられるから，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋１の整数解に関する主張だと解釈できる．実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．このことから，命題「１以外の３角数は立方数ではない」は正しい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝