カタラン数には，たとえば，ｎ×ｎ格子で対角の位置に移動するのに対角線をまたがないでいくやり方というの意味がある．

　その図形は階段状をなすが，たとえば，８段の階段状図形を６個の長方形で覆うやり方と八角形を６個の三角形に分割する仕方の数は等しく，ともに

　　Ｃ6＝１３２

通りである．

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【１】モツキン数

　ｎ×ｎ格子の原点（０，０）から（ｎ，０）の位置に移動するやり方を考える．経路としては１単位右に移動する（＋１，０），斜め上に移動する（＋１，＋１），斜め下に移動する（＋１，−１）の３経路だけが可能であるとする．

　６×６格子の場合，５１通りの経路が可能である．

　カタラン数はｎ組の括弧｛，｝を正しく並べるやり方の数という意味があるが，モツキン数は可能な経路が３経路になるので，括弧｛，｝と文字ｘを入れ個にした正しく並べるやり方の数になる．したがって，

　　モツキン数５１＞カタラン数Ｃ4＝１４

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