鋭角三角形の３中点を結ぶと，三角形は４等分される．中線を連結した線に沿って折り曲げると等面四面体ができあがる．

　等面四面体の対辺はねじれの位置にあり，そのため，６辺は直方体に内接する．逆にいうと，任意の直方体の４頂点を結べば等面四面体ができあがるのである．

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［１］３辺の長さが２，√３，√３であるテトラパック（等面四面体）の体積は？

　等面四面体を直方体（ａ，ｂ，ｃ）に内接させる．

　　ａ^2＋ｂ^2＝４

　　ｂ^2＋ｃ^2＝３

　　ｃ^2＋ａ^2＝３

より，

　　ａ^2＝１，ｂ^2＝１，ｃ^2＝２

　　Ｖ＝ａｂｃ−４ａｂｃ／６＝ａｂｃ／３＝（√２）／３

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［２］３辺の長さが６，７，８である三角形４枚からなる等面四面体の体積は？

　等面四面体を直方体（ａ，ｂ，ｃ）に内接させる．

　　ａ^2＋ｂ^2＝８^2

　　ｂ^2＋ｃ^2＝６^2

　　ｃ^2＋ａ^2＝７^2

より，

　　ａ^2＝７７／２，ｂ^2＝５１／２，ｃ^2＝２１／２

　　Ｖ＝ａｂｃ−４ａｂｃ／６＝ａｂｃ／３＝７／４・√３７４

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［３］３辺の長さがｘ，ｙ，ｚである三角形４枚からなる等面四面体の体積は？

　等面四面体を直方体（ａ，ｂ，ｃ）に内接させる．

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｘ^2

　　ｂ^2＋ｃ^2＝ｙ^2

　　ｃ^2＋ａ^2＝ｚ^2

より，

　　ａ^2＝（ｘ^2−ｙ^2＋ｚ^2）／２，ｂ^2＝（ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2）／２，ｃ^2＝（−ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）／２

　　Ｖ＝ａｂｃ−４ａｂｃ／６＝ａｂｃ／３＝｛（ｘ^2−ｙ^2＋ｚ^2）（ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2）（−ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）｝1/2／６√２

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