セグメントの長さ−１をｓとおく．たとえば，

１^3+５^3+３^3=１５３→１｀５｀３→ｓ＝０

１６^3+５０^3+３３^3=１６５０３３→１６｀５０｀３３→ｓ＝１

１６６^3+５００^3+３３３^3=１６６５００３３３→１６６｀５００｀３３３→ｓ＝２

１６６６^3+５０００^3+３３３３^3=１６６６５０００３３３３→１６６６｀５０００｀３３３３→ｓ＝３

　また，これらの等式の左辺を

　　（ａ−１）^3＋（５・１０^s）^3＋（５・１０^s−ａ）^3

右辺を

　　（ａ−１）・１０^2s+2＋（５・１０^s）・１０^s+1＋５・１０^s−ａ

で表すことにする．

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　これら等しいので，左辺−右辺＝

＝ａ^2・（１５・１０^s−３）−（１７５・１０^2s−４）ａ＋（５・１０^2s+1−１）（５・１０^s＋１）＝０

という２次方程式に帰着される．

　ａを求めるには，この２次方程式を解いてもよいが，勘の働く人であれば，

　　ａ＝（５・１０^s＋１）／３

が解となることが直観されると思う．

　もう一つの２次方程式の解は

　　５・１０^s−ａ＝（１５・１０^s）／３−（５・１０^s＋１）／３

＝（１０^s+1−１）／３

となる．

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　与えられた（ｓ，ａ）に対して

　ａ＝（５・１０^s＋１）／３

が成り立つとき，（ｓ＋１，１０ａ−３）も解となることが示される．すなわち，

　　１０ａ−３＝（５・１０^s+1＋１）／３

　これより，所与の等式

１^3+５^3+３^3=１５３

１６^3+５０^3+３３^3=１６５０３３

１６６^3+５００^3+３３３^3=１６６５００３３３

１６６６^3+５０００^3+３３３３^3=１６６６５０００３３３３

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はｓが大きくなっても成り立ち，これ以外の解は存在しないことがわかるだろう．

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