１７９６年，ガウスはｐ＝１７のとき，
ζ＝ｅｘｐ（２πｉ／１７）＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）
ｃｏｓ（２π／１７）＝-1/16+1/16･√17+1/16･√{(34-2√17)+1/8･√(17+3√17)-√(34-2√17)-2√(34+2√17)}=0.92247･･･
となり，正１７角形が定規とコンパスだけで作図可能であることを示しています．
今回のコラムでは「ガウス和と有限テータ関数」，「フェルマーの最終定理と有限体」に出てきた２つのガウス和についてまとめておきます．
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【１】ガウス和
有限フーリエ級数
Ｆ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ）
を幾何学的に解釈すると，原点から正ｍ角形の頂点に向かって一様に放射状に出る長さ１のベクトルの和であるから，値は０になる．
次に，ガウスが正ｎ角形の研究中に出会った関数
Ｇ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（−ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）
について考える．ｋが２乗されていることで，全方向の一様性がなくなってしまい，図形的にみることが難しくなる．
この関数は長い間ガウスの心を占めていた数学の問題で，現在，ガウス和と呼ばれている．偉大なガウスでさえもＧ（ｍ）の値を得るのに数年を要したといわれている．
ガウスはこの問題を数論的な手法により１８０５年に解決したのであるが，その３０年後の１８３５年，ディリクレがフーリエ級数を用いて簡潔な証明を生み出した．ガウス和は回折理論で有名なフレネル積分
∫(0,∞)sin(ax^2)dx=∫(0,∞)cos(ax^2)dx=1/2√(π/2a)
に帰着され，最終的な結論だけを述べると
ｍ＝０（ｍｏｄ４） → Ｇ（ｍ）＝（１−ｉ）√ｍ
ｍ＝１（ｍｏｄ４） → Ｇ（ｍ）＝√ｍ
ｍ＝２（ｍｏｄ４） → Ｇ（ｍ）＝０
ｍ＝３（ｍｏｄ４） → Ｇ（ｍ）＝−ｉ√ｍ
指数の符号をプラスにした
Ｈ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）
はＧ（ｍ）と複素共役だから，Ｇ（ｍ）がわかればＨ（ｍ）もわかる．
ｍ＝０（ｍｏｄ４） → Ｈ（ｍ）＝（１＋ｉ）√ｍ
ｍ＝１（ｍｏｄ４） → Ｈ（ｍ）＝√ｍ
ｍ＝２（ｍｏｄ４） → Ｈ（ｍ）＝０
ｍ＝３（ｍｏｄ４） → Ｈ（ｍ）＝ｉ√ｍ
奇数のｍに対して，
｜Ｈ（ｍ）｜^2＝ｍ
である．また，ｍ＝ｐｑで置き換えると，
Ｈ（ｐｑ）＝（−１）^(p-1)(q-1)/4Ｈ（ｐ）Ｈ（ｑ）
ガウス和は有限テータ関数として解釈することができるが，ヤコビのテータ関数は解析数論における数多くの深遠な問題と密接に結びついている．また，ガウス和は物理や通信における散乱，たとえば，コンサート・ホールの音響を弱めないで拡散させることなどに応用されているのである．
ガウス和の指数を２乗和ｋ^2に制限する理由はなく，ｋ^nすなわちガウスの３乗和，４乗和，５乗和，６乗和，・・・と一般化することもできる．また，
Ｈ（ｍ，ｋ）＝Σ(k=0~k)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）
と定義する．ｍを固定して，ｋ＝０，１，・・・，ｍ−１と動かすと不完全ガウス和となる．
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【２】もうひとつのガウス和（ｍｏｄ ｐのフーリエ解析）
ここで，一般的に話を進めるためにガウス和とヤコビ和の本来の姿を導入しますが，位数ｐ−１の巡回群の指標には１のｐ乗根が対応して，
ζ＝ｅｘｐ（２πｉ／ｐ）
として
τ(χ）＝Σχ(x)ζ^x (x=1~p-1)
を指標χ(x)に属するガウス和と呼びます．すなわち，ガウス和はＦpに１のｐ乗根ζを添加した拡大体におけるχの１次結合であり，ｍｏｄ ｐのフーリエ解析になっているというわけです．
平方剰余のときχ＝１，平方非剰余のときχ＝−１とすると，ガウスは
ｐ＝１（ｍｏｄ４） → τ(χ）＝√ｐ
ｐ＝３（ｍｏｄ４） → τ(χ）＝ｉ√ｐ
が成り立つことを１８０５年に証明したのですが，解決まで数年を要したといわれています．
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【３】ヤコビ和
また，２つの指標χ(x)，φ(x)に対して，ヤコビ和と呼ばれる複素数
Ｊ(χ,φ)＝Σχ(x)φ(1-x)＝τ(χ）τ(φ)／τ(χφ)
が定義されます．ガウス和の定義はガンマ関数
Γ(s)＝∫(0,∞)ｘ^(s-1)ｅｘｐ(-x)ｄｘ
ヤコビ和はベータ関数
Ｂ(p,q)＝∫(0,1)ｘ^(p-1)（１−ｘ）^(q-1)ｄｘ＝Γ(p)Γ(q)／Γ(p+q)
と非常によく似ていています．ガンマ関数とベータ関数が実数世界の兄弟分にあたるように，ガウス和とヤコビ和もＦｐ世界の兄弟分というわけです．
φ＝χの場合，これらの大きさは
｜τ(χ）｜＝√ｐ
｜Ｊ(χ,χ)｜＝√ｐ
｜Ｊ(χ~,χ~)｜＝√ｐ
｜Ｊ(χ,χ)｜^2＝Ｊ(χ,χ)Ｊ(χ~,χ~)＝ｐ
で与えられます．
互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れません．
ａ＝３ｋ → ａ^2＝９ｋ^2
ａ＝３ｋ＋１ → ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１
ａ＝３ｋ＋２ → ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４
より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．
ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．
４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならないことも簡単に示すことができます．
ａ＝４ｋ → ａ^2＝０ （ｍｏｄ ４）
ａ＝４ｋ＋１ → ａ^2＝１ （ｍｏｄ ４）
ａ＝４ｋ＋２ → ａ^2＝０ （ｍｏｄ ４）
ａ＝４ｋ＋３ → ａ^2＝１ （ｍｏｄ ４）
したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．
ｐを素数として，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は
ｐ＝１（ｍｏｄ４）またはｐ＝２
であることは有名です．
それに較べてあまり知られていないのですが，ｐ＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は
ｐ＝１（ｍｏｄ３）またはｐ＝３
が成り立つことです．
ヤコビ和を使うと（←）が簡単に証明できます．
（証明）１の原始３乗根
ω＝（−１＋√３）／２，ω~＝（−１−√３）／２
ω^2＝ω~，１＋ω＋ω^2＝０
を使うことにします．
ｐ＝２（ｍｏｄ３）であれば，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を割った余りは２になり得ないので解なし．ｐ＝１（ｍｏｄ３）であれば，
Ｊ(χ,χ)＝ｘ＋ｙω，Ｊ(χ~,χ~)＝ｘ＋ｙω~
と表される．
ｐ＝｜Ｊ(χ,χ)｜^2＝Ｊ(χ,χ)Ｊ(χ~,χ~)
＝（ｘ＋ｙω）（ｘ＋ｙω~）＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2
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【４】ポアンカレ和
モジュラー群ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数
Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k
ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）
です．
すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式
Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)
ｃ，ｄは互いに素，ａｄ−ｂｃ＝１
を満たすというわけです．
そして，ガウス和τの保型性との類似は，アイゼンシュタイン級数
Ｅk(aτ+b/cτ+d)=(cτ+d)^kＥk(z)
に拡張されます．
数論のガウス和と複素関数論のアイゼンシュタイン級数はよく似た役割を果たすのですが，アイゼンシュタイン級数をさらに拡張したものがポアンカレ級数です．
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