連続する整数の積ｎ（ｎ＋１）は平方数にはなりません．また，平方数ｎ^2は２つの三角数の和として表すことができます．

　　ｎ^2＝ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ（ｎ−１）／２

　これらのことから，１以外の三角数は平方数ではないと思われがちですが，実は・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］３角数であり平方数であるものは無限に存在します．

（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn−ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１＋√２）^n＝（−１）^n

また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2−２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn−１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　それに対して，

［２］１以外の３角数は立方数ではありません．

　１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^3は，（２ｙ＋１）^2＝（２ｘ）^3＋１と書き換えられるから，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋１の整数解に関する主張だと解釈できる．実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．このことから，命題「１以外の３角数は立方数ではない」は正しい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝