■φ形式の算法(その9)

 コラム「パスカルの三角形の概3等分(その27)」において,フィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,13,・・・

を0からあるいは負の数から出発する場合に拡張してみます.

  ・・・,5.−3,2,−1,1,0,1,1,2,3,5,8,13,・・・

  φ^2=φ+1

  φ^3=φ^2φ=φ^2+φ=2φ+1

  φ^4=φ^3φ=2φ^2+φ=3φ+2

  φ^5=φ^4φ=3φ^2+2φ=5φ+3

  φ^6=8φ+5

  φ^7=13φ+8

  φ^8=21φ+13

  φ^9=34φ+21

  φ^10=55φ+34

  φ^11=89φ+55

  1/φ=φ−1

  1/φ^2=1−1/φ=−φ+2

  1/φ^3=−1+2/φ=2φ−3

  1/φ^4=2−3/φ=−3φ+5

  1/φ^5=−3+5/φ=5φ−8

  1/φ^6=−8φ+13

  1/φ^7=13φ−21

  1/φ^8=−21φ+34

  1/φ^9=34φ−55

  1/φ^10=−55φ+89

  1/φ^11=89φ−144

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 ここで,

  nが偶数のとき,φ^n+1/φ^n

  nが奇数のとき,φ^n−1/φ^n

はすべて整数となっているのですが,それはリュカ数

Ln ={(1+√5)/2}^n+{(1−√5)/2}^n

  ={φ^n+(−1/φ)^n}

であって,整数となることが保証されています.

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