（１を除く）奇数の平方数を２つの連続した整数の和として表すことによって，ピタゴラスの三つ組みを得ることができる．

　　３^2＝４＋５→（３，４，５）→３^2＋４^2＝５^2

　　５^2＝１２＋１３→（５，１２，１３）→５^2＋１２^2＝１３^2

　　７^2＝２４＋２５→（７，２４，２５）→７^2＋２４^2＝２５^2

　　９^2＝４０＋４１→（９，４０，４１）→９^2＋４０^2＝４１^2

　これは

　　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ^2＋４ｎ＋１＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）

　　（２ｎ＋１）^2＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2

＝（２ｎ^2＋２ｎ）^2＋２（２ｎ^2＋２ｎ）＋１

＝（２ｎ^2＋２ｎ＋１）^2

に基づく．

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　１＋３＋５＋７＝１６＝４^2

　（１＋３＋５＋７）＋９＝４^2＋３^2＝２５＝５^2

　１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＋２１＋２３＝１４４＝１２^2

　（１＋３＋５＋７＋・・・＋２３）＋２５＝１２^2＋５^2＝１６９＝１３^2

　１＋３＋５＋７＋・・・＋４７＝５７６＝２４^2

　（１＋３＋５＋７＋・・・＋４７）＋４９＝２４^2＋７^2＝６２５＝２５^2

　これを一般化すると

　　（２ｎ＋１）^2＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2＝（２ｎ^2＋２ｎ＋１）^2

という公式が得られる．

　したがって，ピタゴラスの三つ組みは無限に存在することがわかる．

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　１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

　（ｎ−１）^2＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

　　２ｎ−１＝ｍ^2，すなわち，平方数のとき，ｎ＝（ｍ^2＋１）／２

　｛（ｍ^2−１）／２｝^2＋ｍ^2＝｛（ｍ^2＋１）／２｝^2

が得られるというのが（その７）であった．

　ｍは３以上の奇数であるから，

　　ｍ＝３→（３，４，５）

　　ｍ＝５→（５，１２，１３）

　　ｍ＝７→（７，２４，２５）

　　ｍ＝９→（７，４０，４１）

　　ｍ＝１９→（１９，１８０，１８１）

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