■グレイシャーの定数(その3)

  Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)・logn-n^2/4+C

  C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+・・・

より

  Πk^k〜A・n^(n^2/2+n/2+1/12)exp(-n^2/4)

ここで,A=1.2824271・・・(Glaisherの定数)

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【1】オイラー・マクローリンの和公式

 たとえば,m=1の場合,

  f(x)=xlogx f^(5)(x)=−6/x^4

  f’(x)=logx+1 f^(6)(x)=24/x^5

  f”(x)=1/x f^(7)(x)=−120/x^6

  f^(3)(x)=−1/x^2 f^(8)(x)=720/x^7

  f^(4)(x)=2/x^3 f^(9)(x)=−5040/x^8

より,

  f^(k)(x)=(-1)^k(k−2)!/x^k-1

  f^(2k-1)(x)=−(2k−3)!/x^2k-2

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  Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

  ∫(1,n)xlogxdx=[x^2/2・logx]-∫(1,n)x/2dx=n^2/2・logn-n^2/4+1/4

  (f(n)+f(1))/2=n/2・logn

  (f'(n)-f'(1))/12=1/12・logn

  (f^(3)(n)-f^(3)(1))/720=(-1/n^2+1)/720

  (f^(5)(n)-f^(5)(1))/30240=(-6/n^4+6)/30240

  (f^(7)(n)-f^(7)(1))/1209600=(-120/n^6+120)/1209600

  B2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))=-B2k/(2k)!(2k−3)!(1/x^2k-2−1)→B2k/(2k)(2k-1)(2k-2)

  Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)・logn-n^2/4+C

  C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+・・・

  Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)・logn-n^2/4+1/4+ΣB2k/(2k)(2k-1)(2k-2)

  k=2~

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