■連分数の測度論(その8)

  Σln(n^2/(n^2−1))→1

であることがわかったが,問題の出し方を変えると

  Π(n^2/(n^2−1)

=(2・2/1・3)(3・3/2・4)(4・4/3・5)・・・(n・n/(n−1)・(n+1))・・・

→2

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 それに対して,ウォリスの公式は

  π/2=(2・2/1・3)(4・4/3・5)(6・6/5・7)・・・(2n・2n/(2n−1)・(2n+1))・・・

あるいは

  Πn/(n−1/2)・n/(n+1/2)=Γ(1/2)/Γ(1)・Γ(3/2)/Γ(1)=2Γ^2(3/2)=π/2

となる.

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 それでは,

[Q]全素数にわたる積

  (2・2/1・3)(3・3/2・4)(5・5/4・6)・・・(p・p/(p−1)・(p+1))・・・

を求めよ.

[A]当該の式

 (2・2/1・3)(3・3/2・4)(5・5/4・6)・・・(p・p/(p−1)・(p+1))・・・

  Πp^2/(p^2−1)=Π1/(1−1/p^2)

と書いたほうがわかりやすいかもしれない.これはオイラー積であって,

 ζ(2)=1/1^2 +1/2^2 +1/3^s +1/4^2 +・・・=π^2/6

に等しい.

 よって,

  π^2/6=(2・2/1・3)(3・3/2・4)(5・5/4・6)・・・(p・p/(p−1)・(p+1))・・・

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