【１】パスカルの三角形の恒等式

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｓｕｍ　　ｍｏｄ３

　　　　　　　　１　　　１　　　　　　　　　　２　　　　２

　　　　　　１　　　２　　　１　　　　　　　　４　　　　１

　　　　１　　　３　　　３　　　１　　　　　　８　　　　２

　　１　　　４　　　６　　　４　　　１　　　１６　　　　１

　パスカルの三角形では，以下の有名な恒等式が知られている．

　　（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）＋（ｎ，ｎ）＝２^n

　　（ｎ，０）−（ｎ，１）＋・・・＋（−１）^n（ｎ，ｎ）＝０

　　（ｎ，０）^2＋（ｎ，１）^2＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）^2＋（ｎ，ｎ）^2＝（２ｎ，ｎ）

　　（ｎ，０）＋２（ｎ，１）＋・・・＋２^n-1（ｎ，ｎ−１）＋２^n（ｎ，ｎ）＝３^n-1

　　（ｎ，０）＋２（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ−１）（ｎ，ｎ−１）＋ｎ（ｎ，ｎ）＝ｎ・２^n-1

　しかし，

　　（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ，ｋ）＝［２^n／３］

となるような整数ｋをうまく定めることはできそうにない．

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【２】パスカルの三角形の恒等式（その２）

　　Ｕn＝Σ（ｎ，３ｒ）　　ｒ＝０〜［ｎ／ｒ］

を計算してみる．

　　Ｕ1＝（１，０）＝１

　　Ｕ2＝（２，０）＝１

　　Ｕ3＝（３，０）＋（３，３）＝２

　　Ｕ4＝（４，０）＋（４，３）＝５

　　Ｕ5＝（５，０）＋（５，３）＝１１

　　Ｕ6＝（６，０）＋（６，３）＋（６，６）＝２２

　周期性は見えてこないが，１の原始３乗根

　　ω＝ｃｏｓ（２π／３）＋ｉｓｉｎ（２π／３）

　　（１＋１）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋・・・

　　（１＋ω）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）ω＋（ｎ，２）ω^2＋・・・

　　（１＋ω^2）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）ω^2＋（ｎ，２）ω^4＋・・・

を加えて（ｎ，ｒ）の係数を調べると

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋１のとき）

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋２のとき）

＝３　　　（ｒ＝３ｋのとき）

より，

右辺の和＝３（（ｎ，０）＋（ｎ，３）＋（ｎ，６）＋・・・）＝３Ｕn

左辺の和＝（１＋１）^n＋（１＋ω）^n＋（１＋ω^2）^n＝２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３）

　したがって，

　　Ｕn＝（２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３））／３

が得られる．

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