３辺の長さ比が３：４：５の直角三角形は代表的かつ最小のピタゴラス三角形ですから，ピタゴラス三角形の大家族の元祖という意味で，エジプト三角形と呼ばれることもあります．

　ピタゴラス三角形のなかでも最も歴史的に由緒正しく最も象徴的な直角三角形なのです．したがって，３：４：５の直角三角形をどうやって作図する化という発想は古代よりあったものと思われますが，面白いことに３：４：５の直角三角形は正方形の中にもみることができます．

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【１】エジプト三角形の作図

　１辺の長さが８の正方形の頂点を

　　Ａ（−４，８）

　　Ｂ（−４，０）

　　Ｃ（４，０）

　　Ｄ（４，８）

にとる．

　辺ＡＤの中点Ｍ（０，８）と点Ｂ，中点Ｍと点Ｃを結ぶ．次に点ＢからＣＭに垂線を下ろし，垂線の足を点Ｆとする．このとき，三角形ＢＭＦはエジプト三角形になる．

（証）ＣＭの方程式はｙ＝−２ｘ＋８

　　　ＢＦの方程式はｙ＝１／２・ｘ＋２

→点Ｆ（１２／５，１６／５）はＣＭを２：３に内分する．

　三角形ＢＭＦは直角三角形で，

　ＢＭ＝２０√５／５，ＢＦ＝１６√５／５，ＭＦ＝１２√５／５

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