楕円は円を一方向に一定の倍率で伸縮したアフィン変換図形であるが，円のように弧長を２等分，３等分，５等分できなかった（その１４）．その意味では円のもつ性質を引きずっていないことになる．
それに対して，円もレムニスケートも２等分点，３等分点，５等分点もコンパスと定規を使って作図可能である．中間曲線は円とレムニスケートの中間にあることから私が勝手に名付けた曲線であるが，円のもつこの性質は中間曲線に遺伝しているだろうか？ （その５）で行きあたりばったりの置換を行った結果では中間曲線の弧長を２等分することはできなかったのであるが，・・・
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【１】着想
（その１５）で，中間積分
Ｉ＝∫ｄｘ／（１−ｘ^3）^1/2
を考えたのだが，それは第１種楕円積分となることが示された．
ところで，第１種楕円積分の標準形
F(k,x)=∫(0,x)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)f(x)dx
については加法公式
ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
ｍ＝−（１＋ｋ^2），ｎ＝ｋ^2
が使える．
そこで，中間積分に対応する半三つ葉型の中間曲線（１２次曲線）
ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）
（２（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3
のｋ等分点を求めてみようというのが今回のコラムの狙いである．
中間曲線のグラフは半三つ葉型（緑）であるが，以下の図には実の部分（緑）に加えて虚の部分（黄）も描いてある．
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【２】第１種楕円積分の標準形への還元
積分
Ｉ＝∫(c,1)ｄｘ／（１−ｘ^3）^1/2
を考える．変換
ｙ＝（λｘ＋μ）／（νｘ＋ρ），ｘ＝（−ρｙ＋μ）／（νｙ−λ）
を適当に選ぶことにより，常に
ｄｙ／（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2
の形に還元できる．
λ＝−１，μ＝１−√３，ν＝１，ρ＝−１＋√３
ｘ＝ｃに対するｙの値を
ｙ1＝（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３）
とおくと
Ｉ＝１／4√３∫(y1,1)２ｄｙ／（（１−ｙ^2）（２−√３＋（２＋√３）ｙ^2）^1/2
ここで，ｙ^2＝１−ｚ^2，ｚ1^2＝１−ｙ1^2とおくと第１種楕円
Ｉ＝１／4√３∫(0,z1)ｄｚ／（（１−ｚ^2)（１−ｋ^2ｚ^2）^1/2＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ1）
となる．ただし，
ｋ＝（√２＋√６）／４，ｋ^2＝（２＋√３）／４
φ1＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３））＝ａｒｃｓｉｎ（（１−ｙ1^2）^1/2）
ｓｉｎφ1＝ｚ1，ｚ1＝（１−ｙ1^2）^1/2
ｃ＝１→ｚ1＝０
ｃ＝０→ｚ1＝（４√３−６）^1/2＝α
これで，中間曲線の弧長を求める問題は，加法公式
ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
ｍ＝−（１＋ｋ^2），ｎ＝ｋ^2，α＝（４√３−６）^1/2
の問題に還元されたことになる．
倍角公式
ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）
より，２等分点に対応する楕円曲線上の点
２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α
の解をｘ＝βとすると，
１−（（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３））^2＝β^2
ｃ＝√３＋１−２√３／（（１−β^2）^1/2＋１）
が中間曲線の２等分点である．
ここで注意しておきたいのはｃは２等分点のｘ座標ではなく，極座標（ｒ，θ）における動径ｒであるということである．レムニスケートの場合，
ｒ^2＝ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１＝１／２ｓｉｎ^2θ
より，
ｃｏｓθ＝（（１＋ｒ^2）／２）^1/2
ｓｉｎθ＝（（１−ｒ^2）／２）^1/2
したがって，
ｘ＝ｒｃｏｓθ＝（（ｒ^2＋ｒ^4）／２）^1/2
ｙ＝ｒｓｉｎθ＝（（ｒ^2−ｒ^4）／２）^1/2
それに対して，中間曲線の場合は
ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）
３／２θ＝ａｒｃｃｏｓ（ｒ^3/2）
θ＝２ａｒｃｃｏｓ（ｒ^3/2）／３
ｘ＝ｒｃｏｓθ＝ｒｃｏｓ（２ａｒｃｃｏｓ（ｒ^3/2）／３）
ｙ＝ｒｓｉｎθ＝ｒｓｉｎ（２ａｒｃｃｏｓ（ｒ^3/2）／３）
となり解析的な条件下では解けないことになる．すなわち，加法公式は適用できても，ｋ等分点は作図可能ではないのである．
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【３】中間曲線のｋ等分点
阪本ひろむ氏にMathematicaで２等分点に対応する楕円曲線上の点
２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α
を求めてもらったところ，メモリ不足のため，解析解は得られなかったが，数値解を計算することができた．（３等分点，５等分点はメモリ不足のため数値解すら計算できなかった．）
当初，中間曲線の場合も解析解が得られれば作図可能性に対する直接的な証明が可能となるのではと考えられたのであるが，たとえ解析解が得られたとしてもｋ等分点は作図可能ではないことが判明している．それでも数値的に２等分，４等分，８等分，・・・することは可能である．
２等分点，４等分点，８等分点に対応する楕円曲線上の点と中間曲線上の点の数値解は以下の如くである．
ｘ ｃ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.732051 → 0.671618 → (0.531137,0.411053)
ｎ＝４ → 0.43211 → 0.910585 → (0.856873,0.308114)
ｎ＝８ → 0.226797 → 0.977135 → (0.962279,0.169742)
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γ^2＝１＋ｍα^2＋ｎα^4
として，減法公式を楕円曲線：ｙ^2＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4上の点（ｘ，ｙ），（α，γ）に適用すると，反転公式は
ｘ’＝（γｘ−α（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2）／（１−ｎα^2ｘ^2）
で表される．
反転先はそれぞれ
ｘ’ ｃ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.732049 → 0.671621 → (0.53114,0.411053)
ｎ＝４ → 0.891288 → 0.348665 → (0.214279,0.275049)
ｎ＝８ → 0.934939 → 0.175156 → (0.09489,0.147226)
に移される．
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