ルービック・キューブは１９８０年から１９８１年にかけて世界中で大流行した．それでは３×３×３のルービック・キューブではいったいいくつの色の組み合わせが作れるだろうか？

　１２！×２^12×８！×３^8通り．しかし，これはルービック・キューブを分解したときの話であって，面の回転だけで実現可能な色の組み合わせの総数は１２！×２^12×８！×３^8／１２通りになる．

　今日の数学者が群論を説明するためにルービック・キューブを使うように，今回のコラムでは組み合わせ論，有限数学（離散数学）のパズルを集めてみた．

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【１】タングラム

　タングラムとは，正方形を直線で７枚の板（直角二等辺三角形大２，中１，小２，正方形１，平行四辺形１）に切って，それを組み合わせていろいろな図形を作るパズルである．

［Ｑ］タングラムの７枚を全部並べてできる凸多角形は何種類あるか？

［Ａ］この問題は三角形１，四角形６，五角形２，六角形４の計１３種類あることが証明されている．ラッキー・パズルでは四角形４，五角形３，六角形６，八角形１の１４種類作れることは確かであるが，それですべてかどうかは証明されていない．挑戦してみませんか？

　タングラムは中国生まれとされるが，わが国でもよく似たものがあり，長方形を７枚の板（直角二等辺三角形２，直角台形大１，中１，小２，ホームベース型五角形１）に切った「ラッキー・パズル」が市販されている．

　私も子供の頃，ラッキー・パズル（はなやま玩具）でよく遊んだものである．影絵が簡単なほど難しくなるが，幼児であれば自分自身で新しい影絵を考案して楽しむこともできる．実際，わが家の子供達は専らデザインを応募しては採用されることを楽しんでいるようである．

　ところで，「九章算術」の立方体，塹堵（ぜんと），陽馬，鼈臑（べつどう）はピースを並べ替えて等積変形により立体の体積を求積するもので，三角錐や角錐台の体積公式を得るときなどに用いられる．その意味で「タングラム」の立体版と考えられる．もちろんタングラムと同じ中国生まれである．

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【２】アルキメデスのストマキオン

　ピース数をタングラムの２倍の１４片とし，１４片を並べ替えて正方形にする知恵の板がアルキメデスのストマキオンである．ストマキオンとは腹痛の意味で，腹が痛くなるほど解くのが難しいパズルなのである．

［Ｑ］１４片のピースを組み合わせて，正方形に並べる方法はいく通りあるか

［Ａ］１４片で何通りの正方形が作れるかというと，実に１７１５２通りの作り方があるという．

　アルキメデスのストマキオンは「パリンプセスト」に収蔵されている．どうしても見劣りがし，だれも気に留めない論文であるが，アルキメデスは与えられた問題に対して可能な解がいくつあるかを計算しようとしていたのではないかと考えられている．古代の組み合わせ論，有限数学（離散数学）というわけである．

［補］グノーモンについて

　「ユークリッド原論」第２巻に収蔵されているグノーモンについて，阪本ひろむ氏曰く，『グノーモン関連の定理は「幾何学的な代数論」であるととか，いろいろな説（謎）がある．しかし，私が読んで感じのは「つまらない」の一言につきる．「ユークリッド原論」の代数あるいは数論には、「素数は無限に存在する」「ユークリッドの互除法」「√2は有理数ではない」「ピタゴラスの定理」など，非常に貴重で，しかも証明が美しい定理があるのに，なぜこんな議論を「原論」に収録したのだろうか？』

［文献１］ユークリッド原論の翻訳

[1] 中村幸四郎ほか約　ユークリッド原論　昭和46年　共立出版

ギリシア語からの翻訳

　　縮刷版も存在

　　平行を//といった数学記号を一切使っていない

　　原典にある図形は，そのまま掲示

[2] T.Heath　13　Books of Euclud（全2巻か3巻）

　　イギリスの碩学による翻訳

　　ユークリッドの使わなかった数学記号を使っている

　　ソフトカバーのものは入手しやすい

［文献２］数学史

[3] T.L.Hearth A History of Greek Mathematics(2 Vol.)

決定版かな？

[4] T.L.Heath　A.Manual of Greek Mathematics (2.Vol.)

[3]の簡略版

[5] 平田他訳　ギリシア数学史　共立出版　1998年（復刻版）

[4]の邦訳

[6] 斉藤憲　ユークリッド「原論」の成立　1997年

　　東大出版会

[7] Van Del Wearden 数学の黎明 みすず書房　

　　ユークリッド原論の各巻についての解説をふくむ

以上が関連文献である．

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【３】ペントミノ

　ペントミノは１２種類あり，１２種類のピースを長方形の箱に収めるパズルである．

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　複雑な形

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を早めに箱に入れて，単純な形を後に残すことがコツだそうである．

　下の写真は１２ピースを６×１０の長方形の箱に戻した例であるが，解は１通りではない．

［Ｑ］ペントミノ１２ピースを５×１２，４×１５，３×２０の長方形の箱に戻すことは可能か？

［Ａ］６×１０の箱に１２ピースを収める組み合わせ数は２３３９通り，５×１２では２０１０通り，４×１５では３６８通り，３×２０では２通りある．

２×３０，１×６０は不可能である．

［Ｑ］ペントミノ１２ピースを全部使い，順々につないで輪を作る．ただし，輪はもとの正方形の辺と辺で繋がっていなくてはならないものとする．できるだけ面積の広い輪を作れ

［Ａ］面積１２８のものが何通りか知られている．面積が１２９以上のものは存在しないことが証明されている．

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【４】立体ペントミノ

　ペントミノの正方形を立方体に置き換えた立体ペントミノを１２ピース組み合わせて直方体を作る問題を考える．おもしろいことに３×４×５の直方体を作ることができる例がたくさん知られている．３×４×５の組み方は３９４０通りあるという．たとえば，

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【５】もうひとつのペントミノ問題

（Ｑ）ペントミノ１個と１０個のトロミノ

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を５×７の長方形に箱詰めせよ．

　１２種類のペントミノの各々に対して少なくとも３つの配置があるが，

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に対する解は３つしかない．

（Ｑ）６つのペントミノ

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を６×７の長方形に（隙間を許すことにして）箱詰めせよ．

　ペントミノの各辺を水平垂直に置く通常の方法では箱詰めできない．そこで，ペントミノを斜めに置くことにする．

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