楕円の弧長（第２種楕円積分）のｎ等分点を数値計算で求めることは可能であるが，数値解を求めることと解析解を求めることではまったく事情が異なる．これまで，解析解を求めることによって楕円の弧長のｎ等分点をコンパスと定規を使って作図できるかどうかという問題に取り組んできた．第１種楕円積分の加法公式でなく，第２種楕円積分に関する加法公式があれば楕円の弧長のｎ等分点の作図可能性の評価は可能であることがわかっている．
しかし，うまい変数変換の方法がわからず，行きあたりばったりなのだが，第１種楕円積分のｎ等分点を利用して楕円の弧長（第２種楕円積分）のｎ等分点を求めようと模索してきた．結論を先にいうと，第１種楕円積分は第１種楕円積分に，第２種楕円積分は第２種楕円積分に帰着され，どうしても第２種楕円積分を第１種楕円積分に直すことはできないのである．
楕円曲線（４次曲線）と楕円（２次曲線）の１対１対応に四苦八苦したあげく，２等分点すら作図できないことがわかった．このことは予想はされていたことなのだが，今回のコラムではその顛末を紹介したい．
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【１】楕円の弧の長さ
楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１の弧の長さを求めておこう．
ｙ＝±ｂ（１−ｘ^2／ａ^2）^1/2
より，
ｄｓ＝（１＋（ｄｙ／ｄｘ）^2）^1/2＝ａ（（１−ｋ^2ｚ^2）／（１−ｚ^2））^1/2ｄｘ
ここで，離心率：ｋ＝（（ａ^2−ｂ^2）／ａ^2）^1/2，ｚ＝ｘ／ａ＝ｓｉｎφである．
短軸上の点（０，ｂ）から弧長を求めると，第２種不完全楕円積分
ｓ＝ａ∫(0,sinφ)（（１−ｋ^2ｚ^2）／（１−ｚ^2））^1/2ｄｘ
＝ａＥ（ｋ，φ）
φ＝π／２まで，すなわち，長軸上の点（ａ，０）までの積分は第２種完全楕円積分
ｓ＝ａ∫(0,1)（（１−ｋ^2ｚ^2）／（１−ｚ^2））^1/2ｄｘ
＝ａＥ（ｋ）
であり，楕円の周の全長は４ａＥ（ｋ）と書けることがわかる．
楕円のｎ等分点を求める問題は
Ｅ（ｋ，φ）＝Ｅ（ｋ）／ｎ
なるｚ＝ｓｉｎφ，ｘ＝ａｓｉｎφを求める問題であるが，この数値解を求めても，楕円の弧長のｎ等分点の作図可能性の問題が解決されたことにはならないのである．
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【２】第１種楕円積分から第２種楕円積分へ
楕円積分の名は楕円の弧の長さが楕円積分（第２種楕円積分）で表されるところから来ている．
楕円の弧と１対１対応する楕円曲線
ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4
の加法公式は
ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
となる．倍角公式
ｘ→ｙ＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）
は
ｄｓ＝ｄｘ／（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2
を２ｄｓに変える．すなわち，
ｄｙ／（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＝２ｄｘ／（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2＝２ｄｓ
一般にｋ倍角公式では
dy/{(1+py^2)(1+qy^2)}^(1/2)=k･dx/{(1+px^2)(1+qx^2)}^(1/2)=k･ds
となる．しかし，これは楕円曲線の倍角公式であって，楕円での倍角公式ではない．
円錐曲線ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの場合，この曲線はａ＜０のとき楕円，ａ＞０のとき双曲線であるが，ｙｄｙ／ｄｘ＝ａｘであるからその線素ｄｓは第２種微分
ｄｓ＝ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
ｐ＝ａ／ｂ，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ
で与えられる．
第１種微分との関係がわかりやすいように
ｄｓ＝ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
＝（１＋ｑｘ^2）ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
と書くことにするが，楕円の弧長は
ｓ＝∫(0,x)ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
＝∫(0,x)（１＋ｑｘ^2）ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
で得られる．
ここで，楕円曲線の倍角公式
ｘ→ｙ＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）
は，楕円曲線の線素
ｄｓ＝ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
を２ｄｓに変える．すなわち，
ｄｙ／（（１＋ｐｙ^2）（１＋ｑｙ^2））^1/2＝２ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2＝２ｄｓ
である．
楕円曲線の倍角公式により，
（１＋ｑｙ^2）ｄｙ／（（１＋ｐｙ^2）（１＋ｑｙ^2））^1/2
＝（１＋ｑｙ^2）２ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
＝２（１＋ｑｙ^2）ｄｓ／（１＋ｑｘ^2）
であるから，楕円の線素ｄｓは２（１＋ｑｙ^2）ｄｓ／（１＋ｑｘ^2）に変わることが理解される．
また，倍角公式を適用した楕円の弧長は
∫(0,x)２（１＋ｑｙ^2）ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
で得られるが，これともとの弧長ｓ
ｓ＝∫(0,x)（１＋ｑｘ^2）ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
との関係については，これ以上進めそうにない．第１種楕円積分の加法公式でなく，第２種楕円積分に関する加法公式があれば可能であるのだが，・・・
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【３】第１種楕円積分から第２種楕円積分へ（その２）
楕円の弧長を求める問題を考える場合，k[0,1]をパラメータとする不完全積分
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)
F(z)=∫(0,z)f(x)dx
が絡んでくる．
ところで，第１種楕円積分からヤコビの楕円関数が導かれる．第２種楕円積分
Ｅ（ｋ，φ）＝∫(0,sinφ)（（１−ｋ^2ｚ^2）／（１−ｚ^2））^1/2ｄｘ
＝∫(0,φ)（１−ｋ^2ｓｉｎ^2φ）^1/2ｄφ
はヤコビの楕円関数の積分として表すことができる．
ｓｉｎφ＝ｓｎｕ
とおくと
ｃｏｓφ＝ｃｎｕ
ｃｏｓφｄφ＝ｃｎｕｄｎｕｄｕ
（１−ｋ^2ｓｉｎ^2φ）^1/2＝（１−ｋ^2ｓｎ^2ｕ）^1/2＝ｄｎｕ
したがって，
Ｅ（ｋ，φ）＝∫(0,u)ｄｎ^2ｕｄｕ
楕円の弧長は
ｓ＝ａＥ（ｋ，φ）＝ａ∫(0,u)ｄｎ^2ｕｄｕ
第１種楕円積分はｓｎ^-1ｘであったが，このように第２種楕円積分はｄｎ^2ｕの積分で与えられるのである．
楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１をｘ＝ａｓｉｎφ，ｙ＝ｂｃｏｓφでパラメトライズしてもよいが，
ｘ＝ａｓｎ（ｕ，ｋ）＝ａｓｎ（ｕ），ｙ＝ｂｃｎ（ｕ，ｋ）＝ｂｃｎ（ｕ）
と置くこともできる．
ｄｘ＝ａｃｎｕｄｎｕｄｕ，ｄｙ＝−ｂｓｎｕｄｎｕｄｕ
ｄｓ＝（（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2）^1/2＝ａｄｎ^2ｕｄｕ
したがって，楕円の弧長は
ｓ＝ａ∫(0,u)ｄｎ^2ｕｄｕ
これはすでに求めたところと同じである．
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