今回のコラムでは２００１年にアップロードしたコラム「代数幾何学小話」を補足しておきたいと思います．また，代数幾何ではないのですが，シュレーフリつながりでトポロジーの小話も挿入してあります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】代数曲線と代数曲面
１８，１９世紀になると，２次曲線論に続いて３次および４次曲線について論じられた．３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示した．
代数幾何学において重要な変換に双有理変換（クレモナ変換）があるが，ニュートンは楕円，放物線，双曲線から３次曲線を得るのに双有理変換を使っている．この例からわかるように代数曲線の次数は双有理変換で不変ではないが，種数は不変である→［補］．
ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念している．この問題に対する答えは長い間知られていなかったが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれた．プリュッカーはオイラーが４次曲線の分類で犯した多くの誤りを見つけたが，１８世紀の解析幾何とは違って，高次曲線，曲面は解析幾何の対称ではなく，代数幾何の分野となった．
１８４９年，ケーリーは滑らかな３次曲面はすべてある一定数の直線を含むこと，サーモンはその数は２７であることを証明した．１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）である．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいない．
シュレーフリは３次曲面上の２７本の直線の組に従って，滑らかな実３次曲面を５組に分類した．この５組にはそれぞれ２７，１５，７，３，３本の実直線，そして３直線を含む実平面が４５，１５，５，７，１３入っている．
アルキメデスの墓石に円柱・円錐・球，ガウスの墓石に正１７角形が彫られた如く，ケーリーとサーモンの墓石には２７本の直線を彫るべきだとシルベスターがいったことは１９世紀にこれらの３次曲線がいかに重要視されたかを物語るものだろう．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】オイラーの定理の一般化
シュレーフリは，ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，オイラーの定理を一般化した
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たすことを証明した．
この式はｎ＝２の場合，ｖ−ｅ＝０，ｎ＝３の場合，ｖ−ｅ＋ｆ＝２となり，オイラーの定理である．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立する．
組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求めら，たとえば，正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのであるが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算される（ｎ＋１個の頂点と面）．
同様に，双対立方体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n（２ｎ個の頂点と２^n個の面）
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ（２^n個の頂点と２ｎ個の面）
となる．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はシュレーフリの定理：
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n
を満たしている．
シュレーフリはｎ≧５の場合，正多面体を高次元化した３種類しかないが，ｎ＝４では６種類（３種類＋これ以外の３種類）あることも証明している．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
オイラーの定理をもっと複雑な多面体にまで拡張することを最初に試みたのはポアンソである．ケプラー・ポアンソの星形正多面体は４種類あるが，ケプラーの発見した２つの星形正多面体，小星形十二面体は正十二面体に，大星形十二面体は正二十面体に三角錐を載せできるものである．
残りの２つはケプラーから約２００年後にポアンソがつけ加えた星形大二十面体，大二十面体で，星形正多面体は４種類しかないことはコーシーが示している（ポアンソはほぼ同時代の数学者ポアソンと混同しないよう注意）．
４種類の星形正多面体のうち２種類はオイラーの関係式（ｖ−ｅ＋ｆ＝２）が成り立つが，残りの２種類はｖ＝１２，ｅ＝３０，ｆ＝１２となり，
２ｆ−ｅ＋ｖ＝６
が成り立つことをポアンソは示した．これを一般化したものがケーリーの式
ｎｆ−ｅ＋ｖ＝２Ｎ
である．
多面体の示性数ｇは，ｇ＝１−（ｆ−ｅ＋ｖ）／２で定義されるが，オイラーの多面体定理より凸多面体や２種類の星形正多面体に対してはｇ＝０となる．残りの２種類はｇ＝４になる．シュレーフリはオイラーの公式が成立しない多面体を「多面体」と認めなかったと伝えられている．いまでもｇ＝０のみを星形正多面体と呼ぶべきだとの主張もあるが，この多面体をｎ重被覆された球面と考えればそれほどの矛盾ではないだろう．
なお，ｇ＝４はトポロジカルにいえば穴が４つあるドーナツと同一である．リュイリエはｇ個のハンドルをもった多面体（種数ｇの多面体）に対するより一般的な関係式
ｆ−ｅ＋ｖ＝２−２ｇ
を証明した．ポアンソの関係式が成り立つ星形多面体に対しては
２ｆ−ｅ＋ｖ＝６−２ｇ
となる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【補】３次曲線のｊ-不変量
６つの有理関数
ｆ1(x)=ｘ，ｆ2(x)=１−ｘ，ｆ3(x)=１／ｘ，ｆ4(x)=１／（１−ｘ），
ｆ5(x)=（ｘ−１）／ｘ，ｆ6(x)=ｘ／（ｘ−１）
を考えます（ｘ≠０，１）．２つの関数の合成，たとえば，
ｆ2・ｆ3(x)=ｆ2（ｆ3(x)）=１−１／ｘ=（ｘ−１）／ｘ=ｆ5(x)
ですから，ｆ2・ｆ3＝ｆ5とします．
すると，この６つの関数は群となります．
｜ ｆ1 ｆ2 ｆ3 ｆ4 ｆ5 ｆ6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｆ1 ｜ ｆ1 ｆ2 ｆ3 ｆ4 ｆ5 ｆ6
ｆ2 ｜ ｆ2 ｆ1 ｆ5 ｆ6 ｆ3 ｆ4
ｆ3 ｜ ｆ3 ｆ4 ｆ1 ｆ2 ｆ6 ｆ5
ｆ4 ｜ ｆ4 ｆ3 ｆ6 ｆ5 ｆ1 ｆ2
ｆ5 ｜ ｆ5 ｆ6 ｆ2 ｆ1 ｆ4 ｆ3
ｆ6 ｜ ｆ6 ｆ5 ｆ4 ｆ3 ｆ2 ｆ1
なお，位数がｎの有限体はｎが素数と素数の累乗の場合だけに限られます．すなわち，位数が２，４，８，１６，３２，・・・の有限体，３，９，２７，８１，２４３，・・・の有限体はあるのですが，６や１５の有限体はないのです．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
非特異３次曲線の標準型：
ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）
のｊ-不変量は
ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
によって定義されます．λ＝−１のときｊ＝１７２８，λ＝−ζ6（１の６乗根）のときｊ＝０となります．
ｊｰ不変量はモジュラー不変量とも呼ばれ，
ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）
＝ｊ（１−１／λ）＝ｊ（１／（１−λ））＝ｊ（λ／（１−λ））
ですから，４個の点｛０，１，λ，∞｝の入れ替えに依存しないinvariantで，最も単純で重要な保型関数と考えられます．
複比を
λ＝｛（λ0−λ2）／（λ1−λ2）｝／｛（λ0−λ3）／（λ1−λ3）｝
によって定義すると，λiの順序を変えるとλの値は変わります．すなわち，｛λ0，λ1，λ2，λ3｝からつくられる複比の値は，
λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ
の６つのどれかに移ります．
この順序による曖昧さを消すために，λの６つの分数変換の不変式をとって，
ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
とおくのです．複比は一次分数変換で不変であり，ｊもまた射影変換で不変です．（直線上の４点の複比は射影によって不変である）
なお，
ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）
が成り立てば，あとの等式はこの２つから導かれますから，有理関数
（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
が本質的であって，係数２^8には本質的な意味はありません．実際，
（ｘ^2−ｘ＋１）^3／ｘ^2（ｘ−１）^2＝（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
と，変数ｘの方程式を考えると，
λ^2（λ−１）^2（ｘ^2−ｘ＋１）^3−（λ^2−λ＋１）^3ｘ^2（ｘ−１）^2＝０
はλ≠０，１より，６次方程式となり，
λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ
のどれを代入しても成り立ちます．重複が生ずるのは
λ^2−λ＋１＝０，λ＝１／２，λ＝−１，λ＝２
の場合に限ります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝