オイラーは，素数をかなりの確率で生成する公式ｎ^2＋ｎ＋４１を発見しています．この公式はｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．

　オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2 となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．この事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何でしょうか．

　ウラムは自然数を四角いらせん状に配列させるとｎ^2＋ｎ＋４１型の素数の多くはその対角線上に分布していることを確認しました．ランダムに分布しているように見える素数が四角い渦巻きの対角線上に規則的に分布していたことは驚くべきことです．ウラムは，また，１０００万以下のｎに対して４ｎ^2＋１７０ｎ＋１８４７が４６．６％，４ｎ^2＋４ｎ＋５９が４３．７％の確率で素数を生み出すことを突き止めています．

　オイラーの公式ｎ^2＋ｎ＋４１のｎをｎ−１に変換すればｎ^2−ｎ＋４１，ｎ−４０に変換すればｎ^2−７９ｎ＋１６０１が与えられます．１変数の２次多項式ではｎ^2＋ｎ＋１７や２ｎ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．それでは，多変数の高次多項式ではどうでしょうか．

　１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，素数全体をあるひとつのディオファントス方程式の解として表すことにも成功しています．すなわち，すべての素数をつくる式を生み出したことになるのですが，その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．

　これらの多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．　すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．

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