■クロソイドより美しい曲線

 等速で走行しながら一定の速度でハンドルを切ると,車の奇跡はクロソイド曲線を描く.高速道路において直線区間と円弧区間の境目では急激なハンドル操作は車を不安定な状態に陥らせる.そのため,インターチェンジでは直線区間と円弧区間を緩和曲線と呼ばれる曲率が緩やかに変化する曲線でつながれるのである.ジェットコースターの軌道もまた然り.

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【1】コルニュの螺線

 クロソイド曲線は

  x(s)=∫(0,s)cos(θ^2/2)dθ

  y(s)=∫(0,s)sin(θ^2/2)dθ

で与えられるが,これはフレネル積分の特別な場合である.

 その曲率半径は1/s(曲率はs)である.sは弧長であるから,曲線に沿って原点から遠ざかるにつれて,一定値sで曲率は大きくなる.つまり,クロソイドは曲率が長さに比例する曲線なのである(曲率=ks).

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【2】ディレンの螺線

 クロソイドはコルニュの螺線とも呼ばれるが,ディレンの螺線(多項式らせん)と名付けられた美しい曲線がある.

 とくに,

  曲率=10(−45+51s−18s^2+2s^3)

は,その美しさから「ピカソらせん」という別称がある.

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