正弦関数の加法・減法定理は
ｓｉｎ（θ1±θ2）＝ｓｉｎθ1ｃｏｓθ2±ｓｉｎθ2ｃｏｓθ1
であるが，１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）
との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））
を構成することに成功している．
とくに，ｙ＝１の場合，反転公式
ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2
ｙ＝ｘの場合，倍角公式
ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）
を与えるというわけである．
今回のコラムでは，これらを拡張した結果について紹介するが，まずは円との間に認められる類似性を推し進めることにする．
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【１】円の場合
円：ｘ^2＋ｙ^2＝１→ｘ＋ｙｄｙ／ｄｘ＝０
の線素は
ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2
で与えられる．
倍角公式
ｘ→２ｘ（１−ｘ^2）^1/2
はｄｓを２ｄｓに変える．
また，反転公式
ｘ→（１−ｘ^2）^1/2
によりＯ（０，０）とＰ（１，０）は移り合い，弧ＯＰは自分自身に移り弧長ＯＰは保存される．
ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^2
とおくと，
ｄｓ＝ｄｘ／ｙ＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2．
このとき，微分方程式
ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^2）^1/2
の一般解は
ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１−ｃ^2）^1/2
で与えられる．
ｃ＝０の場合が自明な解ｘ＝ｙ，ｃ＝１の場合が反転公式
ｙ＝（１−ｘ^2）^1/2
である．
一般解はｙに関する２次方程式
ｙ^2−２ｙｘ（１−ｃ^2）^1/2＋ｘ^2−ｃ^2＝０
を解いて，
ｙ＝ｘ（１−ｃ^2）^1/2±ｃ（１−ｘ^2）^1/2
ここで，適宜変数を置き換えると，加法・減法公式
ｚ＝ｘ（１−ｙ^2）^1/2±ｙ（１−ｘ^2）^1/2
が得られる．
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【２】レムニスケートの場合
ベルヌーイのレムニスケートの方程式は
（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2
である．第１象限にある部分だけを考えることにして，この弧は原点Ｏ（０，０）を始点，Ｐ（１，０）を終点としてパラメータｚ（０≦ｚ≦１）を用いれば，
ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）
と表せる．（ｘ，ｙ）を楕円関数でパラメトライズしたというわけである．
この線素は
ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2
で与えられ，倍角公式
ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）
はｄｓを２ｄｓに変える．
したがって，レムニスケートの２等分点を求める際，
ｓｌ（２ｚ）＝２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１
とおいてｚを求めたあと，
ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）
により，２等分点（ｘ，ｙ）を求めなければならないことになる．
また，反転公式は
ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2
で与えられる．
ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^4
とおくと，
ｄｓ＝ｄｘ／ｙ＝ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2．このとき，微分方程式
ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2
の一般解は
ｃ^2ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１−ｃ^4）^1/2
で与えられる．
ｃ＝０の場合が自明な解ｘ＝ｙ．ｃ＝１の場合，すなわち，
ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2−１＝０
ｙ^2＝（１−ｘ^2）／（１＋ｘ^2）
が反転公式である．
一般解はｙに関する２次方程式
ｙ^2（１＋ｃ^2ｘ^2）−２ｙｘ（１−ｃ^4）^1/2ｘ＋ｘ^2−ｃ^2＝０
を解いて，
ｙ＝｛ｘ（１−ｃ^4）^1/2±ｃ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｃ^2ｘ^2）
ここで，適宜変数を置き換えると，加法・減法公式
ｚ＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2±ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）
が得られる．
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【３】ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4の場合
このとき，微分方程式
ｄｘ／（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）
の一般解は
−ｎｃ^2ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2
で与えられる．
ｙに関する２次方程式
ｙ^2（１−ｃ^2ｘ^2）−２ｙｘ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2ｘ＋ｘ^2−ｃ^2＝０
を解いて，
ｙ＝｛ｘ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2±ｃ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｃ^2ｘ^2）
ｃ＝０の場合が自明な解ｘ＝ｙ．１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4＝０の場合，
ｙ＝ｃ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｃ^2ｘ^2）
が反転公式である．
ここで，適宜変数を置き換えると，加法・減法公式
ｘ’＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2±ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
が得られる．レムニスケートではｍ＝０，ｎ＝−１より，加法・減法公式は
ｘ’＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2±ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）
楕円曲線ｙ^2＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4において，Ａ（０，１），Ｂ（ａ，ｂ）にとれば，ｂ^2＝１＋ｍａ^2＋ｎａ^4となるが，このとき，加法・減法公式は
ｘ’＝（ｂｘ±ａｙ）／（１−ｎａ^2ｘ^2）
と表すことができる．さらに加法公式においてｘ＝ｙとおけば，
ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）
となって，倍角公式を得ることができる．
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【４】雑感
ｄｓ＝ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2
において，第１種楕円積分∫ｄｓはレムニスケートの求長問題であるが，ｙ^2＝１−ｘ^4の有理数解，したがって，フェルマー方程式ｚ^4＝ｘ^4−ｙ^4の整数解を求める問題とほとんど同一の問題である．
それに対して，円錐曲線ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの場合，この曲線はａ＜０のとき楕円，ａ＞０のとき双曲線であるが，ｙｄｙ／ｄｘ＝ａｘであるからその線素は
ｄｓ＝ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2
ｐ＝ａ／ｂ，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ
で与えられる．円ではａ＝−１，ｂ＝１，ｐ＝−１，ｑ＝０より
ｄｓ＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2
となる．
楕円や双曲線の求長問題∫ｄｓは第２種楕円積分の典型例となっていて，楕円積分にある種の味わいを添えるものである．たとえば，単振り子の振動周期や楕円の弧長を求める問題を考える場合，k[0,1]をパラメータとする不完全積分
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)
F(z)=∫(0,z)f(x)dx
が絡んでくる．
楕円積分
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
sn^(-1)(x,k)=∫(0,x)f(x)dx
はヤコビの楕円関数の１種であるエスエヌ関数の逆関数である．また，
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
K(k)=∫(0,1)f(x)dx
を第１種完全楕円積分，
f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)
E(k)=∫(0,1)f(x)dx
を第２種完全楕円積分と呼ぶ．
第１種楕円積分は特に重要であるが，第１種楕円積分
K(k)=∫(0,1)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)dx （ヤコビの標準形）
で，x=sinθと変換すると
K(k)=∫(0,π/2)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2) （ルジャンドルの標準形）
また，x=sin^2θ，λ=k^2とおけば
K(k)=∫(0,1)dz/{(z(1-z)(1-λz)}^(1/2) （リーマンの標準形）
が成立する．
これらの不定積分は初等関数では表せないが，たとえば，第１種完全楕円積分は
K(k)=π/2{1+(1/2k)^2+(3/8k^2)^2+(5/16k^3)^2+･･･}
とベキ級数展開できる．
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【補】ヤコビの楕円関数
ヤコビは第１種不完全楕円積分
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
ω=F(z)=∫(0-Z)f(x)dx
に対して，正弦関数をまねてF-1(ω)をsnω=F-1(ω)と定義し，
sn-1z=∫(0-Z)f(x)dx
を得ました．また，三角関数にならって
cnω=√(1-sn^2ω),dnω=√(1-k^2sn^2ω)
と定義しました．関数sn,cn,dnがヤコビの楕円関数です．また，ヤコビは指数関数に対応するテータ関数（周期関数）で，ヤコビの楕円関数を表すことにも成功しています．
第１種不完全楕円積分において，ｋ→０とすると，
K(0)=∫(0-Z)f(x)dx=sin-1z
ｋ→１とすると，
K(1)=∫(0-Z)f(x)dx=tanh-1z
ですから，snωはsinωとtanhωの中間に位置していることがわかります．実際にベキ級数展開を求めると，
snω=ω-(1+k^2)/6ω^3-(3+2k^2+3k^4)/40ω^5+･･･
が得られます．
また，完全楕円積分を用いると，
楕円：x^2/a^2+y^2/b^2=1の全周は4aE(b/a)
レムニスケート：(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)の全周は√(8)aK(1/√(2))
糸の長さｌの単振り子の周期はT=4√(l/g)K(k)
したがって，振幅が小さいときT〜2π√(l/g)と表すことができます．
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