（その８）で与えたベルヌーイのレムニスケートのｎ等分点に誤りがあったようである．今回のコラムではそれを訂正して掲載したい．
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【１】ベルヌーイのレムニスケートのｎ等分点
ベルヌーイのレムニスケートの方程式は
（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2
である．
第１象限にある部分だけを考えることにして，この弧は原点Ｏ（０，０）を始点，Ｐ（１，０）を終点としてパラメータｚ（０≦ｚ≦１）を用いれば，
ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）
と表せる．
この線素は
ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2
で与えられ，倍角公式
ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）
はｄｓを２ｄｓに変える．
２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１
と置くことによって
ｚ^2＝√２−１
が得られる．以上より，
ｚ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.643594 → (0.541196,0.348311)
ｎ＝３ → 0.435421 → (0.335810,0.277170)
ｎ＝４ → 0.327379 → (0.243582,0.218735)
ｎ＝６ → 0.218456 → (0.158115,0.150741)
ｎ＝８ → 0.163865 → (0.117415,0.114304)
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【２】反転公式
写像
ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2
によりＯとＰは移り合い，弧ＯＰは自分自身に移り弧長ＯＰは保存される．
Ｑを弧ＯＰ上の点とするとき，弧ＯＱは等しい長さの弧ＱＰに移される．したがって，
ｚ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.643594 → (0.541196,0.348311)
ｎ＝３ → 0.435421 → (0.335810,0.277170)
ｎ＝４ → 0.327379 → (0.243582,0.218735)
ｎ＝６ → 0.218456 → (0.158115,0.150741)
ｎ＝８ → 0.163865 → (0.117415,0.114304)
は，
ｚ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 0.643594 → (0.541196,0.348311)
ｎ＝３ → 0.825378 → (0.756753,0.329506)
ｎ＝４ → 0.897995 → (0.853426,0.279394)
ｎ＝６ → 0.953363 → (0.931398,0.203496)
ｎ＝８ → 0.973499 → (0.960687,0.157423)
に移る．
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【３】オイラーの加法定理
１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）
との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））
を構成することに成功しています．
とくに，ｙ＝１の場合，反転公式
ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2
ｙ＝ｘの場合，倍角公式
ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）
を与えるというわけです．
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【４】ファニャーノの変数変換＝ランデン変換
f(t)=1/(1-t^2)^(1/2)
2u=2∫(0,x)f(t)dt
において，ｔ＝２ｖ／（１＋ｖ^2）と置換すると
(1-t^2)^(1/2)=(1-v^2)/(1+v^2)
dt=2(1-v^2)dv/(1+v^2)^2
より
dt/(1-t^2)^(1/2)=2･dv/(1+v^2)
レムニスケート
f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)
2u=2∫(0,x)f(t)dt
においても類似の置換に導かれて，ｔ^2＝２ｖ^2／（１＋ｖ^4）と置換すると
(1-t^4)^(1/2)=(1-v^4)/(1+v^4)
2tdt=4v(1-v^4)dv/(1+v^4)^2
より
dt/(1-t^4)^(1/2)=√2･dv/(1+v^4)^(1/2)
さらに，ｖ^2＝２ｗ^2／（１−ｗ^4）と置換すると
(1+v^4)^(1/2)=(1+w^4)/(1-w^4)
2vdv=4w(1+w^4)dv/(1-w^4)^2
より
dv/(1+v^4)^(1/2)=√2･dw/(1-w^4)^(1/2)
これらの置換を行った結果，ファニャーノは
dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)
t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2
であることを見いだします．これに対応する積分間での関係がファニャーノの倍角公式
2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt
というわけです．これらの公式は２つの曲線：ｔ^2＝１−ｚ^4，ｗ^2＝１＋ｕ^4の間の次数２のランデン変換です．
ファニャーノはレムニスケート弧長の２等分を与える
dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)
t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2
を見いだしましたが，同時に複素数による楕円積分の例
dt/(1-t^4)^(1/2)=(1+i)･dw/(1-w^4)^(1/2)
t^2=2iw^2/(1-w^4)
sl((1+i)u)=(1+i)sl(u)/(1-sl^4(u))^1/2
も得ています．ηを１の８乗根η=(1+i)/√2として，uをηuで置き換えると曲線ｔ^2＝１−ｚ^4上の１±ｉの虚数乗法の公式が得られます．
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