【１】４平方和定理４平方和定理（オイラー・ラグランジュの定理）

　任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる。

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　４平方和定理，すなわち，任意の自然数はｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2の形に書くことができることをミンコフスキーの定理を用いて証明したい．

　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2がｐの倍数となるすべての点は格子をなすが，その平行八胞体の体積はｐである．

　原点を中心とする半径１．０１√ｐの球を描くと，その体積は

　　π^2ｒ^4／２＝０．５２π^2ｐ^2＝５．１３ｐ^2＞４ｐ

　ミンコフスキーの定理より，この球は原点以外の格子点（ｘ，ｙ）を少なくともひとつ含む．

　　０＜ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2＜１．０２ｐ

　すなわち，０と１．０２ｐの間にある０以外のｐの倍数はｐ自体であることより，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2＝ｐが従う．

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