【１】２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｐ^2＋ｑ^2

ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

　しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

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【２】ミンコフスキーの定理（数の幾何学）

　ミンコフスキーは数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．

　格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

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　２平方和定理，すなわち，ｐが４ｋ＋１型素数であれば，ｘ^2＋ｙ^2の形に書くことができることをミンコフスキーの定理を用いて証明したい．

　ｘ^2＋ｙ^2がｐの倍数となるすべての点は格子をなすが，その平行四辺形の面積はｐである．

　原点を中心とする半径１．２√ｐの円を描くと，その面積は

　　１．４４πｐ＝４．５２ｐ＞４ｐ

　ミンコフスキーの定理より，この円は原点以外の格子点（ｘ，ｙ）を少なくともひとつ含む．

　　０＜ｘ^2＋ｙ^2＜１．４４ｐ

　すなわち，０と１．４４ｐの間にある０以外のｐの倍数はｐ自体であることより，ｘ^2＋ｙ^2＝ｐが従う．

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