■1729(その4)

[Q]x^3+y^3=1729を満たす整数解(x,y)をすべて求めよ.

 [参]小野田博一「数学難問Best100」PHP

は著者の数学センスを感じさせる良著である.是非購読されたい.

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[A]x^3+y^3=(x+y)(x^2−xy+y^2)=7・13・19

  x^2−xy+y^2=(x+y)^2−3xy

  x^2−xy+y^2>x+y

となるとは限らない.結局(その3)とは違って全数を調べあげなければならないことになるが,

[1]x^2−xy+y^2=7・13・19,x+y=1

[2]x^2−xy+y^2=13・19,x+y=7

[3]x^2−xy+y^2=7・19,x+y=13

[4]x^2−xy+y^2=7・13,x+y=19

[5]x^2−xy+y^2=19,x+y=7・13

[6]x^2−xy+y^2=13,x+y=7・19

[7]x^2−xy+y^2=7,x+y=13・19

[8]x^2−xy+y^2=1,x+y=7・13・19

  x+y=A,x^2−xy+y^2=B

  x^2−x(A−x)+(A−x)^2=B

  3x^2−3Ax+A^2−B=0

  x=1/6・{3A±(12B−3A^2)^1/2}

に代入すると(x,y)=(1,12),(9,10),(10,9),(12,1))が得られる.

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