フレニクルは１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3のほかにも

　　９^3＋１５^3＝２^3＋１６^3

　　１５^3＋３３^3＝２^3＋３４^3

　　１６^3＋３３^3＝９^3＋３４^3

　　１９^3＋２４^3＝１０^3＋２７^3

を見つけている．

　モジュラ関数

　　ｊ（ｚ）＝ｅｘｐ（−２ｉπｚ）＋７４４＋１９６８８４ｅｘｐ（２ｉπｚ）＋・・・

において，

　　ｊ（ｉ）＝１７２８＝１２^3

この性質が次の逸話のもとになっている．

　その後，方程式

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｕ^3＋ｖ^3

　　ａ^4＋ｂ^4＝ｃ^4＋ｄ^4

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＝ｄ^5＋ｅ^5＋ｆ^5

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＝ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6

のパラメータを用いた解が見つかっている．

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［Ｑ］ｘ^3＋１^3＝ｙ^3＋１０^3を満たす整数解（ｘ，ｙ）を求めよ．

［Ａ］ｘ^3−ｙ^3＝１０^3−１^3＝９９９＝３^2・１１１＝３^3・３７

　　（ｘ−ｙ）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2）＝３^3・３７

　また，ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝（ｘ−ｙ）^2＋３ｘｙより

　　ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＞ｘ−ｙ

であるから，

［１］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝９９９，ｘ−ｙ＝１

［２］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３３３，ｘ−ｙ＝３

［３］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝１１１，ｘ−ｙ＝９

［４］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３７，ｘ−ｙ＝２７

　これを解くと（ｘ，ｙ）＝（１２，９）が得られる．

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