ひとつの正三角形を，それよりも小さ正三角形二つで覆うことはできない．

［Ｑ］ひとつの大きな図形を覆うのに，小さい相似形がいくつ必要か？

［Ａ］大きな三角形を覆うには相似な小さい三角形が３枚必要．大きな四角形を覆うには相似な小さい四角形が４枚必要．

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【１】ハドヴィガー予想（組み合わせ幾何学に関する）

　そこで，図形の被覆に関するハドヴィガー予想：

　　ｎ次元図形の場合，必要な枚数は最大でも２ｎ以内におさまる．

　すなわち，正方形では４枚必要だが，立方体では小さな立方体が６個必要になるというもの．２次元の場合は証明されているが，３次元以上ではそれだけでは覆いきれない奇妙な図形が存在する可能性が残っているため，まだ証明されていない．

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【２】立方体を小立方体に分割する

　立方体を４７個の小立方体に分割することはできない．４７より大きければ立方体を必ずその数の小立方体に分割することができるから，４７はそのような性質をもつ最大数である．

　この結果はハドヴィガー予想を解く努力の中で証明された．それは立方体が１，８，２０，３８，４９，５１，５４個の小立方体に分割できることから証明される．

　　１^3＝１^3

　　２^3＝８・１^3

　　３^3＝２^3＋１９・１^3

　　４^3＝３^3＋３７・１^3

　　６^3＝４・３^3＋９・２^3＋３６・１^3

　　６^3＝５・３^3＋５・２^3＋４１・１^3

　　８^3＝６・４^3＋２・３^3＋４・２^3＋４２・１^3

　集合｛１，８，２０，３８，４９，５１，５４｝に対して，ｍ＋ｎ−１をいう操作を繰り返し使えば，４７より大きいどんな数でも作ることができるのである．

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