５回対称性を有する準結晶として有名な花形十二面体は，鋭角型の黄金菱形六面体を２０個組み合わせたものである．花形十二面体は小川泰先生がペンローズ格子（３次元版）について研究中に見つけられて命名された多面体とのことでまさしく「黄金の華」である．

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【１】星形八面体

　星形八面体は２つの正四面体をそれぞれの辺が直角に２等分されるように配置したもので，その外側に立方体，内側に正８面体をもっている．一般に，プラトン立体の複合多面体は２つのプラトン立体をそれぞれの辺が直角に２等分されるように配置したものである．空洞に正８面体を収納できるように正四面体４個を貼り付けて固定し，蓋と底の上下二段の星形八面体の木工模型を掲げる．

　星形八面体の作り方としては正八面体に底面が正三角形の三角錐を８個貼り合わせるというものが考えられる．正八面体を中心から放射状に８等分した三角錐を内三角錐，外側に角状に突き出した三角錐を外三角錐と呼ぶことにする．正八面体の面に適当なピラミッド（外三角錐）をつけることは可能であるが，内三角錐と合同な外三角錐を８個貼り合わせても星形八面体にはならない．そこで，正八面体の各辺，各面を交差するまで延長する方法で外三角錐を作ることにする．

　立方体では各辺，各面をいくら延長しても交差しないが，正八面体では交差し，この方法で作った外三角錐の高さは内三角錐の２倍と計算される．この外三角錐を８個貼り合わせると星形八面体が得られることになる．

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【２】月型十二面体

　花形，星形ときたからには雪形，月形なども考えられるところであるが，木工製作できるものでなければならない．そこで考えたのが正十二面体に五角錐１２個を貼り付けて固定したものである．

　星形八面体の場合と同様に，正十二面体の各辺，各面を交差するまで延長する方法で外五角錐を作るのであるが，外五角錐の高さは内五角錐の２．３９３６４倍と計算される．この多面体には小星形十二面体という名前がついているのだが，勝手に月型十二面体と呼ぶことにした．

　以下に中川宏さんによる組み木を掲げる．正十二面体の４等分体に３個の外五角錐を貼り合わせたパーツを４つ作り，組み合わせたものである．

　なお，プラトン立体の複合多面体，たとえば，同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版であり，正８面体を芯として，各面にこれと等しい辺をもつ正４面体をつなぎ合わせてできる立体であるが，２４面すべてが正三角形よりなるものの，星形正多面体には通常加えられず，正多面体からも除外される．

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【３】雪型十二面体

　正十二面体とは違って，菱形十二面体の面は正則（正多角形）でないし，頂点も等価（すべての頂点の周りが一定）ではない多面体であるが，正十二面体の星型化と同様，菱形十二面体に四角錐１２個を貼り付けた凹菱形多面体を考えることもできるだろう．

　菱形十二面体の場合，各面を延長することによって得られる外三角錐の高さは内四角錐の高さに等しい．すなわち，底面の対角線の比が１：√２の菱形のを四角錐を２個貼り合わせた対称重四角錐となる．

　菱形十二面体自体，立方体に対称重四角錐をつけたものであり，菱形十二面体にさらに対称重四角錐をつけるとこの多面体になる．菱形十二面体は４次元の雪と別称されることから，この多面体を雪形十二面体を呼ぶことにした．

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【４】雑感

　以前，デューラーの八面体について考察した際，白銀菱形六面体を設計したことがあったのだが，雪形十二面体は白銀菱形六面体を１２個を組み合わせたものになっているのだろうか？　そうではなく，底面が白銀菱形になっている重四角錐を１２個を組み合わせたものが雪形十二面体になることがわかった．

　それでは，黄金菱形六面体を２０個を組み合わせると花形十二面体ができるように，白銀菱形六面体を何個か組み合わせて，何か面白い多面体はできないだろうか？　中川宏さんに検討してもらったところ，鋭角型と鈍角型を組み合わせれば菱形十二面体ができそうであるが，木工で鈍角型を作るのは難しいということであった．

　ともあれ，これで花形，星形，月形，雪形の宝塚４姉妹が勢揃いしたことになる．決してシャレのツモリではないのだが，職場のＵ嬢によると宝塚には「宙（そら）組」もあるとの由．

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