【１】半立方体（hemicube）

　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）のひとつおきの頂点において，そこと相隣る頂点全体を通る超平面で切り落として残る図形は半立方体（hemicube）と呼ばれる．たまたま，３次元では正四面体，４次元では正１６胞体となるが，５次元以上ではそれほど簡単な図形ではない．

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　ｎ半立方体の切断回数は２^n-1である．１回の切断によってｎ−１正単体ができる．すなわち，２立方体の切断面は線分が２本，３立方体の切断面は正三角形が４面（正四面体），４立方体の切断面は正四面体が８個である．さらに８個の正四面体（３次半立方体）が加わって正１６胞体となる．

　５立方体の切断面は正５胞体が１６個である．さらに１０個の正１６胞体（４次半立方体）が加わる．６次元になると，切断面に５次元の正単体３２個，さらに５次元の半立方体１２個と囲まれた図形となる．

　すなわち，ファセットは

　　２^n-1個のｎ−１正単体と２ｎ個のｎ−１半立方体

からなる．ｆn-1＝２^n-1＋２ｎ，また，ｆ0＝２^n-1

　ｆ1＝２^n-2（ｎ，２）

　一般に，

　　２^n-1（ｎ，ｋ＋１）個のｋ正単体（２≦ｋ≦ｎ−１）と２^n-k（ｎ，ｋ）個のｋ半立方体（３≦ｋ≦ｎ−１）

ｋ＝３のとき，α3＝ｈγ3であるから

　　２^n-1（ｎ，４）＋２^n-1（ｎ，３）個の正四面体

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［まとめ］

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝ｎ次元立方体のｋ面数＋２^n-k-2（ｎ次元立方体のｎ−ｋ−１面数）

ということになる．ｋ＞２であるから

　　ｆ（ｎ，３）＝ｎ次元立方体の３次元面数＋２^n-5（ｎ次元立方体のｎ−４次元面数）

　　ｆ（ｎ，４）＝ｎ次元立方体の４次元面数＋２^n-6（ｎ次元立方体のｎ−５次元面数

　　ｆ（ｎ，ｎ−１）＝ｎ次元立方体のｎ−１次元面数＋２^-1（ｎ次元立方体の０次元面数）＝２ｎ＋２^n-1

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