正の整数は３つの三角数の和あるいは４つの四角数の和として表される・・・．一般に「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものです．
この定理でｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」の相当するわけですが，フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．
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【１】ラグランジュの定理
任意の整数ｎは，ｎ個平方和
ｎ＝１^2＋１^2＋・・・＋１^2
に書けますから，これをなるべく少ない数の平方和でｎを表そうと思うのは自然な発想です．そこでまず，簡単な数値実験から始めることにしましょう．１から１０までの整数をいくつかの平方数の和の形式で表現するというものです．
整数の平方
０，１，４，９，１６，２５，・・・
は非常にまばらにしか存在しませんが，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．１，２，４，５，８，９，１０，・・・
１＝１^2＋０^2
２＝１^2＋１^2
４＝２^2＋０^2
５＝２^2＋１^2
８＝２^2＋２^2
９＝３^2＋０^2
１０＝３^2＋１^2
ここで，３，６，７といった整数は，２つの平方の和では書けないことがわかります．しかし，３つの平方和となると幾分間隙を埋めてくれます．
３＝１^2＋１^2＋１^2
６＝２^2＋１^2＋１^2
それでも，なおすべての正の整数を得ることはできません．最後まで残った７に対しては３つの平方数の和で書けず，４つの平方数が必要となります．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．
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［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．
このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2
しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．
それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？ ２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．
（補）自然数ｎが２つの平方数の和であるための必要十分条件は
「ｎを素因数分解したとき，４ｋ＋３の形の素数が偶数乗で現れる」ことである．
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［２］ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）
４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，
「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」
逆にいうと，ｎ≠４^k（８ｎ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論として，この結果を得ています．
（補）自然数ｎが３つの平方数の和であるための必要十分条件は
「ｎが４^n（８ｋ＋７）の形でない」ことである．
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［３］ラグランジュの定理（４平方和定理）
前述の数値実験から「すべての正の整数は，ｇ個の平方数の和として表すことができるだろうか？ さらに，ｇの最小値はいくつであろうか？」というより高度な問題が派生しますが，「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．
驚くべきことに，７のみならず，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2
このことを，シンボリックに書くと
ｎ＝□＋□＋□＋□
となります．□は平方数の意味です．
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【２】ガウスの三角数定理
「どの正整数も３つの３角数の和として表される．」
ガウスは１７９６年の日記に「わかった！ ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味です．ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いると「ｎ＝△＋△＋△」を簡単に示すことができます．ガウスはフェルマーの主張のひとつを証明したことになります．
（証明）４^m（８ｋ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと
ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２＝△＋△＋△
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【３】ルジャンドルの４平方和定理
ラグランジュの４平方和定理では０も含めて考えていますが，「正」という条件を付けてみることにすると，
「４つの正の平方数の和として表されない正の整数をすべてあげると
１，３，５，９，１１，１７，２９，４１，２×４^m，６×４^m，１４×４^m」
が得られます（ルジャンドルの４平方和定理）．
ルジャンドルの３平方和定理は，どのような数が４つの正の平方数の和として表されるか否かを決定するというわけです．
（証明）８ｋ＋３の形をした数は３つの奇数の平方の和として表せることは前述したとおりですが，
８ｋ＋３の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
となることからも，３つの平方数の和として表すことができることがわかります．
同様に
８ｋ＋６の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋６の形の数
ことから，８ｋ＋３と８ｋ＋６の形をした数は，２つの平方数の和としては表すことができない→３つの平方数の和として表されなければなりません．また，その数の４倍を考えれば３２ｋ＋１２と３２ｋ＋２４も３つの平方数の和として表されます．
８ｋ＋２の形の数から２^2を引くと → ８ｋ＋６の形の数
８ｋ＋３の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
８ｋ＋４の形の数から１^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
８ｋ＋６の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋６の形の数
８ｋ＋７の形の数から２^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
８ｋ＋１の形の数から１^2，３^2，５^5，７^2を引くと → ３２ｋ＋２４の形の数
８ｋ＋５の形の数から１^2，３^2，５^5，７^2を引くと → ３２ｋ＋１２の形の数
したがって，４９よりも大きく８の倍数でない任意の整数は４つの正の平方数の和として表されることがわかります．４９までの８の倍数でない数について１，２，３，５，６，９，１１，１４，１７，２９，４１が４つの正の平方数の和として表されないことを確認します．
１＝１^2 １１＝３^2＋１^2＋１^2
２＝１^2＋１^2 １４＝３^2＋２^2＋１^2
３＝１^2＋１^2＋１^2 １７＝３^2＋２^2＋２^2
５＝２^2＋１^2 ２９＝４^2＋３^2＋２^2
６＝２^2＋１^2＋１^2 ４１＝６^2＋２^2＋１^2
９＝２^2＋２^2＋１^2
あとは，８ｋの形をした数が４つの正の平方数の和として表される場合について考察します．４つの平方数のうち奇数が０個（または１個または２個または３個または４個）ならば，和は４ｋ（または４ｋ＋１または４ｋ＋２または４ｋ＋３または８ｋ＋４）の形をしています．たとえば，
（２ｐ＋１）^2＋（２ｑ＋１）^2＋（２ｒ＋１）^2＋（２ｓ＋１）^2
＝４ｐ（ｐ＋１）＋４ｑ（ｑ＋１）＋４ｒ（ｒ＋１）＋４ｓ（ｓ＋１）
＝８ｋ＋４
したがって，８ｋの形をした数が４つの平方数の和として表されるならば，その４つの正の平方数はすべて偶数でなければなりませんから，２ｋが４つの正の平方数の和として表されるときに限られます．
（２ｐ）^2＋（２ｑ）^2＋（２ｒ）^2＋（２ｓ）^2＝８ｋ
ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2＝２ｋ
ここで，２ｋが８の倍数であればさらに４で割って，２ｋは８の倍数でないとすることができますから，前述の場合に帰着されます．
すなわち，８の倍数でない２ｋ（偶数）が４つの正の平方数の和として表されないのは
２ｋ＝２，６，１４
したがって，２，６，１４といった整数の４倍
８ｋ＝２×４^m，６×４^m，１４×４^m
は４つの正の平方数の和として書けないことがわかります．
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【４】ルジャンドルの４平方和定理の拡張
何種類かの４変数２次形式，たとえば，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2 （ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）
はすべての正の整数を表現することができます．
（証明）ある数を表現しないと仮定すると，３平方和定理によりその数は８ｋ＋７の形でなければなりません．そのような数から，
ｍｗ^2 （ｗ＝１，１，２，１，１，１，２）
を引くと，それぞれ８ｋ＋６，８ｋ＋５，８ｋ＋３，８ｋ＋３，８ｋ＋２，８ｋ＋１，８ｋ＋３の形の数となり，これらはすべてｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表現されます．
なお，変数の数を任意とする正定値２次形式（たとえば，ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2）が
１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５
の１５までのなかでこれら９つの数を表現するならば，その２次形式はすべての正整数を表現することが知られています．この定理はルジャンドルの４平方和定理も内包しています．
しかしながら，ルジャンドルの定理のように３変数２次形式
［ｘ，ｙ，ｚ］［ａ，ｈ，ｇ］［ｘ］＝ｎ
［ｈ，ｂ，ｆ］［ｙ］
［ｇ，ｆ，ｃ］［ｚ］
では表現できないような数が必ず存在します．
たとえば，
Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2
は１から３０までの整数をすべて表しますが，３１を表すことはできません（３２は表すことができる）．
ここではオイラーの素数生成式（ｎ^2＋ｎ＋４１はｎが０から３９まですべて素数を与える）のようにうまい具合にいっている３変数２次形式を掲げましたが，正定値３変数２次形式はどれもある整数を表わすことができないのです．
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