【１】フェドロフの発見

　誰でも幼少時にレゴブロックで遊んだことがあるに違いない．レゴの基本単位を次々につけ足していくと自動車になったり，飛行機になったり・・・基本単位が大きいため，少し目線を引いて遠くから眺めなければ滑らかな形には見えないが，できあがった概形は四角形にも六角形にも不定形にもなり得るのである．その意味で，レゴ・ブロックはすべての形の素と考えられる．

　自然界にもレゴ・ブロックに相当するものが存在する．自然界のレゴ・ブロックの概念は，はじめディリクレによって２次元で提出され（ディリクレ領域，１８５０年），その後，ボロノイによって３次元に拡張された（ボロノイ領域，１９０８年）．研究分野によりいろいろな呼び名が使われているが，それは生物・無生物を問わず存在し，生物の場合は細胞であるし，物性物理学分野ではウィグナー・ザイツセルという呼び名も用いられている．細胞（セル）の図と非常に似ているためであろう．

　ところで，ロシアの結晶学者フェドロフは，３次元空間において，平行移動だけで決まる本質的なボロノイ領域は，たった５種類しかないという構築原理発見した（１８８５年）．この５種類のボロノイ領域とは，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体であって，「平行多面体」と総称される．

　すなわち，平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，２３０種類ある結晶もたった５種類のウィグナー・ザイツセルで概構成することができるのである．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，自然界のレゴ・ブロックと考えられる所以である．

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【２】自然界のレゴ・ブロックは本当に５種類か？

　もし，５種類ある平行多面体自身がひとつのブロックで構成できるなら，自然界のレゴ・ブロックは１種類ということになる．そんな都合のいい多面体が存在するかどうか，当初は半信半疑というよりはむしろ懐疑的に思われていた節があるが，そのようなブロックは実在する．

　その多面体は奇妙な形の５面体であることから，ペンタドロンと名付けられた．ペンタドロンを元素記号に模してσで表すことにすると，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体はそれぞれσ12，σ36，σ192，σσ384，σ48で構成されることになる．

［定理］平行多面体の元素数は「１」である（２００８年）

　平行多面体は元素ではなく，化合物だったというわけである．この事実の証明は非常に簡単である．実際に構成することができるからだ．しかし，ペンタドロンのもつ意味は非常に深淵である．この世の中のすべての形がたった１種類の多面体から生み出されているからだ．究極の構成原理といってもよいであろう．

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【３】ペンタドロンの物理化学的意義

　ここで村の鍛冶屋を考えてみよう．鉄を熱しておいてそれをハンマーでたたく，すなわち，高エネルギー下で変形を加えるのである．そのとき，ミクロの世界では何が起こるかというと，金属結晶の相転移現象が生起される．もちろん，個々の原子の振る舞いを直接確認することはできないが，球形の素材を型に詰め込んでおいて，それをぎゅっとつぶすというイメージである．

　たとえば，金属結晶の相転移では面心立方格子から体心立方格子に状態移行する．結晶格子といえども不変骨格たり得ず，それに対応するボロノイ領域は菱形１２面体から切頂８面体に再編さればければならない．ペンタドロンはこの相転移を説明できる神の粒子かもしれないのである．

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【４】平行多面体の変身

　相転移の状態移行では，球の並進運動と同時に空間の連続的な回転運動が起こらなければならないが，ペンタドロンはそのメカニズムをある程度解き明かしてくれる．しかし，もっと優れた相転移模型も考えられる．それが以下に述べる平行多面体同士の「変身立体」である．

　デュドニーは正三角形から正方形に等積変形するパズルを考案した．また，３次元ではエンドレス・キューブという立方体同士の表裏翻転図形がよく知られていて，適当な稜が蝶番でつながれた８つの立方体の輪は立方体（２×２×２）に折りたたむことができる．エンドレス・キューブは表の２４面を裏返すと裏の２４面が現れてくることを利用している．

　エンドレス・キューブに観光地の写真を貼り付けてあるおみやげグッズも売られているから，ご存知のかたも多いと思うが，これは最も単純なリバーシブル多面体である．もし，平行多面体間でもこのような変身が起こり得るならば，それは相転移を直接的に表現する模型となるはずである．

［定理］１５通りあるすべての平行多面体の対の間で，平行多面体同士のフリップ・フロップ変身が可能である．

　相転移のモデルを何かに応用できると良いなと思うが，いますぐにはいいアイディアは浮かばない．読者諸賢のアイデアを拝借願いたい．

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