【１】シュレーフリ関数Ｆn(θ)

　（その２８）に掲げたシュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）は，ｎ次元球の最密充填に関する評価式のうち，ｎ＝４に対する場合には利用できますが，一般のｎ次元で使えるようにするために，それを拡張しておく必要があります．また，正単体の諸量を計算するためには，one-parameter化しておいた方が都合がよいと考えられます．

　そこで，シュレーフリは，微小変化量ｄＦが

　　ｄＦn+1(θ)＝Ｆn-1(φ)ｄＦ2

すなわち，２次元の球面上の三角形の面積に比例することを用いて，シュレーフリ関数Ｆn(θ)を

　　Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ

　　ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２

　　Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1

で再帰的に定義しました．

　　ｄＦ2＝2/πｄθ

というわけですが，

　　Ｆ2(θ)＝2/π・θ

　　Ｆ3(θ)＝2/π（θ−π／６）

となることは簡単に確かめられます．

　さらに，シュレーフリは

　　Ｆ2k+1(θ)＝Ｆ2k(θ)-1/3Ｆ2k-2(θ)+2/15Ｆ2k-4(θ)-・・・

と展開され，その係数が

　　ｔａｎｈｘ＝ｘ-1/3ｘ^3+2/15ｘ^5-17/315ｘ^7+(-1)^(n-1)2^(2n)(2^(2n)-1)Bn/(2n!)ｘ^(2n-1)・・・

と同じであることを示しています．

　したがって，奇数次元のシュレーフリ関数に関しては

　　Ｆ3(θ)＝Ｆ2(θ)-1/3＝2/π（θ−π／６）

　　Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15

　　Ｆ7(θ)＝Ｆ6(θ)-1/3Ｆ4(θ)+2/15Ｆ2(θ)-17/315

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

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　　Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３

それに対して，Ｆ4(θ)を解析的に求めることは難しく，数値積分で近似値を計算することになるのですが，Ｆ4（1/2arccos(1/4)）の場合，公式

　　Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０

を用いて，

　　Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０

　また，

　　Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15

より，

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)

と計算されます．

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