正三角形の２次元基本単体は直角三角形（π／６，π／３，π／２）なのですが，１次元基本単体（基本線分）は辺の半分の長さの線分です．それが６＝３！個集まると元の正三角形の表面積（周長）が構成されます．

　また，正四面体の３次元基本単体は重直角四面体なのですが，この重直角四面体ＡＢＣＤの対面を１，２，３，４で表し，面ｉと面ｊの間の二面角を（ｉ，ｊ）で表すと，隣接していない面では

　　（１，３）＝（１，４）＝（２，４）＝π／２

一方，隣接している面同士では

　　（１，２）＝π／３，（２，３）＝π／３，（３，４）＝π／３

さらに，正四面体の２次元基本単体は直角三角形（π／６，π／３，π／２）であって，２４＝４！個で元の正四面体の表面積に等しくなります．

　同様に，ｎ次元単体の基本単体数はｎ！個であることがわかります．また，ｎ次元空間内の正単体の（ｎ−１）次基本単体は，（ｎ−１）次元球面上に射影することによって球面上の基本単体になるのですが，それらの間の二面角は

　　δ／２

　　π／３（隣接しているとき）

　　π／２（隣接していないとき）

であって，単純リー群を使って表現することが可能です．

　また，シュレーフリ関数Ｆnを用いて，単位超球から得られる楔状体の体積が，

　　２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)

　　δ＝２θ＝arcsec(n)

で与えられますが，

　　ｎ！Ｆn（δ／２）

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

が出現した理由はこれらのことによっています．

　シュレーフリ関数は二面角が直角の場合を基準としています．二面角が直角の１次元基本単体を外接円に射影すると，外接円は４等分（＝２^2）されます．二面角が直角の２次元単体を外接球に射影すると，外接球は８等分（＝２^3）されます．

　同様に，二面角が直角の（ｎ−１）次元単体を（ｎ−１）次元球面上に射影することによって，ｎ次元超球の（ｎ−１）次元表面積は２^n等分されますから，ｎ次元楔状体の体積に

　　２^(-n)ｖn

が現れるというわけです．

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