■4次元の雪,5次元の雪,6次元の雪,・・・(その26)

 n半立方体の切断回数は2^n-1である.1回の切断によってn−1正単体ができる.すなわち,2立方体の切断面は線分が2本,3立方体の切断面は正三角形が4面(正四面体),4立方体の切断面は正四面体が8個である.さらに8個の正四面体(3次半立方体)が加わって正16胞体となる.

 5立方体の切断面は正5胞体が16個である.さらに10個の正16胞体(4次半立方体)が加わる.6次元になると,切断面に5次元の正単体32個,さらに5次元の半立方体12個と囲まれた図形となる.

 すなわち,ファセットは

  2^n-1個のn−1正単体と2n個のn−1半立方体

からなる.fn-1=2^n-1+2n,また,f0=2^n-1

 これが位数2^n-1n!と関係してくるわけである.

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[まとめ]

  f(n,k)=n次元立方体のk面数+2^n-k-2(n次元立方体のn−k−1面数)

ということになる.k>2であるから

  f(n,3)=n次元立方体の3次元面数+2^n-5(n次元立方体のn−4次元面数)

  f(n,4)=n次元立方体の4次元面数+2^n-6(n次元立方体のn−5次元面数

  f(n,n−1)=n次元立方体のn−1次元面数+2^-1(n次元立方体の0次元面数)=2n+2^n-1

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