【１】隣接行列式とディンキン図形

　単純リー群には９つの型がある．それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの古典群とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であった．

　リー型の単純群は，４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列，素数位数の巡回群と交代群も含めて総計１８系列に細分される．

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

・

　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　　　　　　３

　　　　　／

　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

＼

　　　　　　４

　　　　　　４

　　　　　 ｜

　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

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　例えば，Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型のディンキン図形は，

　　　　　　３　　　　　　　　　１−２−３　　（Ａ3 ）

　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　１−２　　　（Ｄ4 ）　　　　　　　　４　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　＼ 　　　　　　　　　　　　 ｜　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　４　　　　　　　　　１−２−３−５−６−７−８　　（Ｅ8 ）

となる．

　そして，ディンキン図形に基づいて，隣接行列の要素ｂijを，

　　それ自身のとき・・・・２

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

と定める．

　グラフの隣接行列では，結ぶ辺の有無を（０，１）で表したものが一般的である．すなわち，

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

であるが，極大格子の隣接行列Ｂ＝｛ｂij｝では，要素が内積ｂi↑・ｂj↑からなるグラミアンによって定義される．その際，ｎ次元平行多面体（平行２ｎ面体）の基底となるｎ個のベクトルｂkはすべて長さ√２，ｂiとｂjが隣り合うときは２つのベクトルは角度６０°で交わり（内積＝１），隣り合わないときは直交すること（内積＝０）を意味している．角度が６０°のことを隣り合うといっているわけで，そのため，隣接行列は（０，１，２）で表されることになる（隣接行列の定義は文献によって異なる場合があるので注意を要する）．

　そうすれば，Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型に対応する隣接行列式｜Ｂ｜は，それぞれ

　　｜２　１　０｜　　　｜２　１　０　０｜

　　｜１　２　１｜　　　｜１　２　１　１｜

　　｜０　１　２｜　　　｜０　１　２　０｜

　　　　　　　　　　　　｜０　１　０　２｜

　　｜２　１　０　０　０　０　０　０｜

　　｜１　２　１　０　０　０　０　０｜

　　｜０　１　２　１　１　０　０　０｜

　　｜０　０　１　２　０　０　０　０｜

　　｜０　０　１　０　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

で定義され，格子群の基本領域の体積Ｖと最短距離ｄは

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜Ｂ｜＝１＝Ｖ^2

より求められることになる．

　これらの隣接行列式を展開すると，

　　｜Ａ2 ｜＝３，｜Ａ3 ｜＝４，｜Ｄ4 ｜＝４，｜Ｄ5 ｜＝４，

　　｜Ｅ6 ｜＝３，｜Ｅ7 ｜＝２，｜Ｅ8 ｜＝１

が得られる．

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