立方体に正四面体を内接させることができることは，最初ケプラーにより指摘されたことからケプラー四面体と呼ばれる．また，立方体に２個の正四面体を天地逆転させて重ねて内接させた相貫体にはケプラー八角星（星形八面体）という名前がつけられている．一般に，プラトン立体の複合多面体は２つのプラトン立体をそれぞれの辺が直角に２等分されるように配置したものである．
立方体に内接する２つの正４面体の他にも，正１２面体の頂点の８つを選ぶと立方体の頂点となり，そのような選び方は合計５通りあるから，立方体に外接する５つの正１２面体なども考えることができる．実際，正１２面体にそれぞれ色の違う５つの立方体を内接させることができるような数学用模型がいくつも作られている．今回のコラムでは，２個以上の正多面体を組み合わせた立体のintersectionについて考えてみよう．
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【１】ダビデの星とケプラーの星
同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形６角形ができます．これはダビデの星と呼ばれて，イスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．
星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側のとがった角を結んでも正６角形ができます．すなわち，星形６角形は外側を正６角形が取り囲んでいて，内側にも正６角形が入っていることがわかります．それでは，・・・
（Ｑ）それでは，同じ大きさの正４面体２個を重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるでしょうか？
（Ａ）複合多面体とは，いくつかの多面体を中心がすべて一致するように重ね合わせたもので，多面体が同じくらいの大きさならば，互いに交わったり，ある面が他の面を突き抜けたりします．
この問題はダビデの星の３次元版で，同じ大きさの正４面体２個による屋根瓦状の相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられています．最も簡単な複合多面体なので，これが頭の中でイメージできれば答は簡単なのですが，勘の働きにくい問題でもあります．
上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されますが，ところが，外側に立方体（正方形６面），内側に正８面体（正３角形８面）が正解なのです．
小生はこの問題を「ダビデの星・ケプラーの星」と呼んでいます．「ダビデの星」では正三角形と正六角形が互いに隣接していますが，それが周期的な格子をつくったものが「カゴメ格子」です．「カゴメ格子」は，文字通り，竹篭編みにみられる篭の目の結び目を作る格子であり，日本人が最も愛好した文様のひとつです．ちなみに「カゴメ」は世界でも通用する呼び名とのことです．
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【２】互いに双対な正多面体同士の相貫体のintersection
ついでに，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の相貫体について考えてみましょう．立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．正１２面体と正２０面体の相貫体では，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．（正多面体とその双対多面体との共通部分は，正８面体，立方８面体（６・８面体），１２・２０面体です．）
正多面体の各面の中心（重心）を順に結んで立体を作ると，もとの正多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体ができます．互いに表と裏の関係にある多面体を双対多面体といいます．正四面体ではふたたび正四面体ができ，正六面体では正八面体が，逆に正八面体では正六面体が，また，正十二面体では正二十面体が，逆に正二十面体では正十二面体ができます．したがって，正四面体は自己双対であり，正六面体と正八面体，正十二面体と正二十面体とは互いに双対です．このことにより，正多面体は，｛正四面体｝，｛正六面体と正八面体｝，｛正十二面体と正二十面体｝の３つのグループに大別することができます．
３種類の相貫体−−正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体−−について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体−−立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．頂点と面に関しての双対性にはうまくできているなと感嘆させられます．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．
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【３】複合正多面体のintersection
同じ正多面体を中心が重なるように合わせたもので，正４面体を２つ，屋根瓦状にあわせたケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものです．このとき，８個の頂点は立方体の頂点をなします．残りの４つは以下のものになります．
正４面体を５つあわせたもの
正４面体を１０個あわせたもの
立方体を５つあわせたもの
正８面体を５つあわせたもの
前３者は頂点を正１２面体の頂点の位置に配置したもので，正８面体を５つあわせた複合多面体の頂点は２０・１２面体になります．また，組み合わせた正多面体すべてのintersectionは立方体を５つあわせたものでは菱形３０面体に，その他のintersectionは正２０面体になります．
核（intersection） 殻（頂点）
正４面体を２つあわせたもの 正８面体 立方体
正４面体を５つあわせたもの 正２０面体 正１２面体
正４面体を１０個あわせたもの 正２０面体 正１２面体
立方体を５つあわせたもの 菱形３０面体 正１２面体
正８面体を５つあわせたもの 正２０面体 ２０・１２面体
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【補】相貫円柱
断面の形が正方形の四角柱を中心軸が直交するように相貫させると，共通部分は立方体となる．２本のときでも３本のときでも立方体である．しかし，半径が等しい２つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分がどのような形になるのか，頭の中で想像するのもなかなか難しい．
（Ｑ）２本の円柱が直角に交わっているとき，共通部分の体積はいくらか．
（Ａ）直角の交差する２本の円筒がテーブルの上に横にして置かれているとしよう．どちらの円筒にも球を入れることができるから，２本の共通部分は球より大きく，球を正八面体状に膨らましたものになる．
共通部分に球を入れたまま，テ−ブルに水平な平面で２本の円筒を切断すると，切り口は球に接する正方形になる．円とその外接正方形の面積比はπ：４であるから，カバリエリの原理により，球の体積の４／π倍であることがわかる．単位球であれば
４π／３×４／π＝１６／３
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アルキメデスは円柱の直径をｄとするとその体積は
２／３ｄ^3
になることを知っていたようである．円柱を３本にすると同じように得られる曲面立体についてはより複雑になる．
（Ａ）半径が等しい３つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分は立方八面体の双対である菱形１２面体を丸く膨らましたような形で１２の曲面で囲まれた立体になる．その体積は円柱の直径をｄとすると
（２−√２）ｄ^3
になる．
（Ａ）半径が等しい４つの円柱を中心軸が正４面体の対称性をもって相貫させたとき，その共通部分は菱形立方八面体の双対である凧型２４面体を丸く膨らましたような形で２４枚の側面をもつ．その体積は円柱の直径をｄとすると
３√２／２（２−√３）ｄ^3
になる．
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