レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

　そこで，４半円弧長および４半レムニスケート弧長を定規とコンパスで３等分，４等分，５等分できることを示してみたいのですが，レムニスケート弧長の等分は面倒そうなので，今回のコラムでは円弧長の等分だけに限りたいと思います．

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【１】円弧長の３等分

　３倍角の公式

　　sin3u=-4sin^3u+3sinu

　　sinu=-4sin^3u/3+3sinu/3

において，sin(u/2)=v,sin(u)=1とおくことにします．すると，

　　4v^3-3v-1=0

　　(v+1)(2v-1)^2=0　→　v=1/2

　ｓｉｎθ＝１／２　→　θ＝π／６　→　OK

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【２】円弧長の４等分

　倍角の公式

　　sin2u=2sinucosu=2sinu(1-sin^2u)^1/2

を繰り返せば

　　sin4u=2sin2ucos2u=2sin2u(1-sin^22u)^1/2

より

　　sinu=2sinu/2cosu/2=2sinu/2(1-sin^2u/2)^1/2=1 → sinu/2=1/√2

　　sinu/2=2sinu/4cosu/4=2sinu/4(1-sin^2u/4)^1/2=1/√2 → sinu/4=((2-√2)/4)^1/2

　→　OK

　ｓｉｎθ＝((2-√2)/4)^1/2　→　θ＝π／８　→　OK

　４等分できることは倍角の公式の結果（sinu/2=1/√2）より明らかですが，４倍角の公式

　　sin4u=(-8sin^3u+4sinu)cosu=(-8sin^3u+4sinu)(1-sin^2u)^1/2

から（馬鹿正直に）求めてみることにします．

　　sinu=(-8sin^3u/4+4sinu/4)(1-sin^2u/4)^1/2

において，sin(u/4)=v,sin(u)=1とおくことにします．すると，

　　64v^8-128v^6+80v^4-16v^2+1=0

　　(64v^4+1/v^4)-16(8v^2+1/v^2)+80=0

　さらにまた，8v^2+1/v^2=wとおくと，

　　w^2-16w+64=0よりw=8

より，v=((2-√2)/4)^1/2　→　OK

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【３】円弧長の５等分

　５倍角の公式

　　sin5u=16sin^5u-20sin^3u+5sinu

　　sinu=16sin^u/5-20sin^3u/5+5sinu/5

において，sin(u/2)=v,sin(u)=1とおくことにします．すると，

　　16v^5-20v^3+5v-1=0

　　(v-1)(16v^4+16v^3-4v^2-4v+1)=0　→　v=1/2

　　(16v^2+1/v^2)+4(4v-1/v)-4=0

　さらにまた，4v-1/v=wとおくと，

　　w^2+4w+4=0よりw=-2

より，4v^2+2v-1=0　→　v=(-1+√5)/4

　ｓｉｎθ＝(-1+√5)/4　→　θ＝π／１０　→　OK

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