■基本単体の直角三角錐分割(その21)

 tetradronは2つの合同な5面体(pentadron)に分割できるが,2つの合同な4面体にも分割できる.

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【1】テトラドロンの性質

[1]レプタイル図形(自己再生性)

 自分自身と相似な8個の三角錐(相似比1:2)に分けることができる三角錐は稀である.tetradronは8個でもとの三角形と相似比1:2,27個で相似比1:3の三角錐にできる特殊な三角錐である.そして,このプロセスは何度も繰り返すことができるから,tetradronは空間充填多面体である.

[2]ダブル充填図形

 空間充填かつ展開図が平面充填であるという図形.tetradronの展開図は平行六辺形であるから,ダブル充填というユニークな特徴がある.

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【2】ペンタドロンの性質

 tetradronは2つの合同な5面体(pentadron)に分割できる.

[Q]tetradronを2つの合同な5面体(pentadron)に分割せよ.

 ゴールドバーグの論文によると2つの合同な5面体に分割ができる空間充填4面体はいくつか知られているが,pentadronは5種類ある平行多面体をすべて組み立てることができる特殊な5面体である.

 フェドロフの平行多面体5種とは立方体,正六角柱,菱形十二面体,切頂八面体,長菱形十二面体のことであるが,3次元の平行多面体がすべて同一の素片(1種)で組み立てられるというのが「平行多面体元素定理」である.

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【3】テトラドロンの仲間達

 tetradronの二重体である陽馬,四重体である中村・工藤の三角錐(quadrirectangular tetrahedron)はともに,空間充填かつ展開図が平面充填であるというダブル充填図形である.

 また,中村・工藤の三角錐は8個でもとの三角形と相似比1:2,27個で相似比1:3の三角錐にできる特殊な三角錐であるが,陽馬は8個で一回り大きい陽馬にはできず,tetradronが必要となる.

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