フィボナッチ数列：ａn＝ａn-1＋ａn-2は有名な数列ですが，他にはどのような数列があるのでしょうか？　トリボナッチ数列，テトラナッチ数列，ペンタナッチ数列，ヘキサナッチ数列・・・とその変形（ａn＝ａn-2＋ａn-5，ａn＝ａn-2＋ａn-3（パドヴァン数列・ペラン数列），ａn＝ａn-1＋ａn-3，ａn＝２ａn-1＋ａn-2（ペル数列），ａn＝ａn-2＋ａn-3＋ａn-4）・・・

　［参］フラナリー「√２の森とアンドリュー少年」シュプリンガー・ジャパン

は丸ごと１冊，√２の最良近似分数列

　　1/1,3/2,7/5,17/12,41/29，99/70,239/169,577/408,･･･

だけを扱った稀少な本ですが，そこではペル数列やヘロン数列の話題が取り上げられています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】√２の近似値とペル数列

　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると

　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）

なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

このとき，±１は交互に繰り返し現れます．

　√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．

　　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・

　すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると

　　Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１

となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．

　　ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】√２の近似値とヘロン数列

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

に次ぐ第３の近似分数は

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）→（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）

となりますが，

　　（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）

にｐ＝１，ｑ＝１を代入すると過小評価（−１）側の分数列

　　（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２

ｐ＝３，ｑ＝２を代入すると過大評価（＋１）側の分数列が得られます．

　　√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

すなわち（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）では分数を１つ飛び越えているので収束が加速されます．ここでは別の収束加速法を紹介します．

　ａがｘ^2=0の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．かくして算術平均：

　　ａn+1=1/2(ａn+2/ａn)

によって定義される数列は√(2)に収束することになります（ヘロンのアルゴリズム）．

　ヘロンのアルゴリズムは，算術平均・幾何平均の不等式

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

において，ｂ＝２／ａの場合となっています．

　　１／２（ａ＋２／ａ）≧√２

　また，この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．

　ａ＝１を１／２（ａ＋２／ａ）に代入すると３／２が得られますが，これを繰り返すと

　　1→3/2→17/12（１つ飛び越え）→577/408（３つ飛び越え）→665857/470832（７つ飛び越え）→（１５飛び越え）→・・・

　　1,3/2,17/12,577/408,665857/470832,･･･

はヘロン数列と呼ばれます．

　また，ａ＝ｐ／ｑから始めることにすると

　　１／２（ａ＋２／ａ）＝（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

は１次分数列でしたが，

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

は２次分数列になっています．

　さらに，高次分数列

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

は驚異的なスピードで√２に近づきます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝