［参］Regular and semiregular polytopes III, Math. Zeitschrift 200(1988), 3-45

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　　　　次数

Ａ4　　１２０＝｛３，３，３｝（１１１１）の頂点数

Ｄ4　　１９２

Ｂ4　　３８４＝｛３，３，４｝（１１１１）の頂点数

一般に

Ａn　　（ｎ＋１）！

Ｄn　　２^n-1ｎ！

Ｂn　　２^nｎ！

　さらに，

Ｅ6　　７２・６！

Ｅ7　　８・９！

Ｅ8　　１９２・１０！

一般に

Ｅn　　２^n／（Ｅn）

（Ｅ2）＝２，（Ｅ3）＝２／３，（Ｅ3）＝５／１２，（Ｅ5）＝１／６０，（Ｅ7）＝１／８１０，（Ｅ8）＝１／２７２１６００

と計算される．

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【まとめ】Ｅ8格子

　コクセターは，８次元空間において２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせると空間充填形ができ，ケイリー整数の作る格子がその具体形であることを証明した．

　Ｅ8格子から得られる頂点数２４０，辺数６７２０本の図形はひも理論を研究するときに使われる．この充填形で，正軸体の１つおきの胞に正単体が続き，他の半分の胞は正軸体同士が接する．格子点として１つの格子点を中心にその隣（距離１）の２４０個の頂点を結んでできる８次元の「亜正多面体」は次のような構造をしている．

　　頂点２４０個，辺６７２０（２４０×２８）本

　　面（正三角形）６０４８０（６７２０×９）枚

　　３次元胞（正四面体）２４１９２０（６０４８０×４）個

　　４次元胞（正五胞体）２４１９２０（６０４８０×４）個

　　５次元胞（正単体）４８３８４０個

　　６次元胞（正単体）２０７３６０個

　　　　　＝４８３８４０×３／７＝２４０×８６４

　　　　　＝（１７２８０×８＋２１６０×２^7）／２

　　７次元胞：各６次元胞に正軸体２個と正単体１個が合わさり

　　　　　　　正単体が１７２８０個，正軸体が２１６０個

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