【１】プラトン立体

　ピタゴラス学派は正多面体の概念を見いだし，ユークリッドは正多面体は５種類しかないという定理を証明したといわれる．プラトンに拠れば，それ以前に正多面体に言及したのはテアイトテスであるが，正多面体をプラトン立体ということがある．

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　正多面体について第１の問題は何かと問われたならば，それは正多面体は何種類あるかという問題だろう．その答えが５種類になることはユークリッド原論に載っているが，その回答を与えたのが誰かは実はよくわかっていない．

　プラトンは紀元前３６０年の著作「ティマイオス」のなかで，５つの正多面体について述べている．プラトンはこれらの立体を発見したのは前の時代のピタゴラス派の数学者たちと述べているが，正多面体がこの５つで尽くされるという事実を紹介している．その結果これらの立体は「プラトンの立体」と呼ばれるようになった．

　オイラーの多面体公式のずっと前の時代のことであるから，ユークリッドの論法は次の通りである．

［１］正三角形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個，４個，５個集めることができる（６個ならば平角になってしまう）．

［２］正方形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個集めることができる（４個ならば平角になってしまう）．

［３］正五角形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個集めることができる．

［４］正六角形を用いるならば３個で平角になってしまう（六角形より多くの辺をもつ正多角形を用いることはできない）．

　これら５つのケースがそれぞれ

［１］正四面体，正八面体，正二十面体

［２］立方体

［３］正十二面体

に対応しているため，ほかにはないといっているわけである．

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【２】アルキメデス立体

　一方，準正多面体の概念を提出し，それを分類したのはアルキメデスということであるが，その著作は消失し，１７世紀になってケプラーが準正多面体の概念と分類を再発見した．

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　正多面体を「プラトンの立体」と呼ぶにに対して，準正多面体は「アルキメデスの立体」と呼ばれる．これは面が正則（正多角形），各頂点が一様（同じ種類の面が同じ数集まって巡回的順序になっている）な凸多面体と定義される．

　（３，６，６），（４，６，６，），（５，６，６），（３，８，８），（３，１０，１０），（４，６，８），（４，６，１０），（３，４，３，４），（３，５，３，５），（３，４，４，４），（３，４，５，４），（３，３，３，３，４），（３，３，３，３，５）の１３種類あるが，（３，４，４，４）にはミラーの多面体，（３，３，３，３，４），（３，３，３，３，５）には左手系と右手系の各々があり，１６種類と数えられることもある．

　（４，６，１０）は３０個の正方形，２０個の正六角形，１２個の正十角形からなる壮観なアルキメデス立体である．

　準正多面体は正多面体に切頂・切稜を施すことによって構成することができる．ただし，ねじれ立方体（３，３，３，３，４）とねじれ十二面体（３，３，３，３，５）の２つは３次方程式に帰着され，定規とコンパスでは作図可能でないという意味で他とは異なっている．

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