単純群は
(1)素数位数の巡回群
(2)５次以上の交代群
(3)リー型の単純群
(4)散在型単純群
の４種類に大別される．今日では有限単純群の分類は完成し，合計１８の無限系列と２６個の散在群に限ることがわかっている．今回のコラムでは
［参］マーク・ロナン「シンメトリーとモンスター」岩波書店
を参考に，（その１）（その２）に掲げた有限単純群の分類を補完して再掲することにした．
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【１】有限単純群の分類(1)(2)
素数位数の巡回群は単純群であるが，これ以外にも単純群はあり，５次以上の交代群（対称群の置換のなかで偶置換が作る群）も単純群となる．その位数はｎ！／２で，Ａ5（６０），Ａ6（３６０），Ａ7（２５２０），Ａ8（２０１６０），Ａ9（１８１４４０），Ａ10（１８１４４００）と計算される．
単純群の最小位数は素数でなければ６０である．位数６０の群は５個の対称の置換のなかで偶置換が作る群Ａ5である．Ａ5は正１２面体の回転群としても現れる．
単純群は非常に稀であって，たとえば，２０００未満の位数をもつ単純群の位数を書き出してみると
６０（Ａ5），１６８，３６０（Ａ6），５０４，６６０，１０９２
しかない．このなかでＡ5，Ａ6以外の群はリー型の単純群である．
［補］バーンサイドの定理
もし単純群が素数位数の巡回群でなければ，その位数は少なくとも３つ異なる素数で割れる．たとえば，最小位数の単純群の異数は６０であり，これは２，３，５で割れる．次に小さい単純群の位数は１６８であり，これは２，３，７で割れる．
［補］ファイト・トンプソンの定理
素数位数の巡回群を除いて，すべての単純群の位数は偶数である．したがって，もし群の位数が奇数なら，素数位数の巡回群の集まりに分解することができる．
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【２】有限単純群の分類(3)
リーの連続変換の群の研究は，キリングによって単純な有限連続群をすべて見つけ，系列に分類するという単純群の「元素周期律表」に結びついていく．
Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4 Ａ5 Ａ6 Ａ7 Ａ8
Ｂ1 Ｂ2 Ｂ3 Ｂ4 Ｂ5 Ｂ6 Ｂ7 Ｂ8
Ｃ2 Ｃ3 Ｃ4 Ｃ5 Ｃ6 Ｃ7 Ｃ8
Ｄ4 Ｄ5 Ｄ6 Ｄ7 Ｄ8
Ｇ2 Ｆ4 Ｅ6 Ｅ7 Ｅ8
キリングはリー群を７系列に分け，ＡからＧの文字を割り当てた．Ａ系列が最も単純で，Ｂ・Ｃ・Ｄ系列はより複雑だが互いに似ている．これらを古典型とよぶ．添字はそのリー群の表す空間の次元である．Ｅ・Ｆ・Ｇ系列の例外型リー群は８次元で終了し，全部で５つの例外型リー群がある．
もう一つの問題は，キリングが分類した単純群をすべて構成することである．カルタンはそれが実際に存在することを示し，その結果は現在「キリング・カルタン分類」として知られている．
Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ系列はユークリッド空間の中の対称群として扱うことができる．ディクソンは，Ａ1，Ａ2，Ａ3などの個々に対して，素数位数の群を構成した．例外系列を構成するにはディクソンから半世紀待たなくてはならなかったが，１９５５年，シュバレーが例外系列に対する一般的構成法を完成させた．
そして，他の数学者たちがその下流を整理し始めた．たとえば，日本人数学者・鈴木通夫がまったく新しい単純群（鈴木系列）を発見した．素数位数の巡回群を除いて，それまで知られた有限単純群の位数はすべて偶数であって，さらに３の倍数と予想されていた．ところがこの予想は外れであって，Ｂ2から生成される鈴木群は位数が３の倍数でない唯一の例外であることがわかっている．また，韓国人数学者・リー(Ree)がシュバレー系列，鈴木系列を含む単純群を発見した．
シュバレー，鈴木，リーが使用した方法は代数的なものであったが，幾何学的なアプローチを考える人達がいた．ティッツは内在する幾何を利用して有限リー群を構成しようとした．３次元には正四面体群Ａ3，正八面体群Ｂ3，正二十面体群Ｈ3の３種類の結晶がある．４次元正多面体にはＡ4，Ｂ4に加え，正２４胞体Ｆ4，正６００胞群Ｈ4がある．一般に，高次元空間における単結晶は
３ ４ ５ ６ ７ ８ ８次元以上
Ａ3 Ａ4 Ａ5 Ａ6 Ａ7 Ａ8 ＡnかＢnのみ
Ｂ3 Ｂ4 Ｂ5 Ｂ6 Ｂ7 Ｂ8 ＡnかＢnのみ
Ｅ6 Ｅ7 Ｅ8
Ｆ4
Ｈ3 Ｈ4
であるが，幾何学的に３次元の多重結晶を育てることによって４次元以上の多重結晶（単純群）をすべて作り出せるのである．
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【３】有限単純群の分類(4)
代数群などの分野からは発見され得ないし，古典群，交代群のように無限系列にはいっていないという意味で，散在型単純群と呼ばれる単純群が２６個ある．一番小さいのが，１１個の文字の上の置換群であるマシュー群Ｍ11（位数：７９２０），一番大きいものが，モンスター（位数：２^46・３^20・５^9・７^6・１１^2・１３^3・１７・１９・２３・２９・２１・４１・４７・５９・７１）で，モンスターの位数はなんと５４桁にものぼる．
２６個の散在型単純群の歴史は，実に１００年にわたっている．マシュー群と呼ばれている５種類の単純群Ｍ11，Ｍ12，Ｍ22，Ｍ23，Ｍ24が発見されたのは１８６０〜６１年である．マシュー群の発見以後，１００年あまりの空白期を経て，ヤンコが１９６５年６番目の散在型単純群Ｊ1（位数：１７５５６０）を発見する．
これを皮切りに，それから１０年という短い間に有限単純群の残りの２０個，鈴木群（イリノイ大学），原田群（オハイオ大学），コンウェイ群，フィッシャーのベビーモンスター群，モンスター群，・・・が次々と発見されてしまった．
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【４】有限単純群の分類（モンスターの発見）
マシューは５重可移性の置換群から，全部で５つの例外的な単純群Ｍ11，Ｍ12，Ｍ22，Ｍ23，Ｍ24をみつけた．ヴィットによるＭ24を構成するためのデザインを利用して，リーチは現在リーチ格子として知られる２４次元におけるもっとも密度の高い配置を作った．リーチ格子では２４次元球１９６５６０個の球と接触している．これが更なる単純群を生み出すことになった．
コンウェイはリーチ格子に好奇心をそそられ，リーチ格子の第１近接１９６５６０点は３つのグループ（９７１５２＋１１０４＋９８３０４）の３つに分けられるが，あるグループの点を他のグループの点に移す対称性から合計１２個（５つのマシュー群，３つのコンウェイ群＋残り４で計７個の新しい単純群）を発見した．
そして，美しい怪物は１９７３年イギリスのケンブリッジ大学で誕生し，コンウェイによりモンスターと命名・愛称された．モンスターを線形群の中に埋め込むとすると，最低でも１９６８８３次の行列ＧＬ（１９６８８３，Ｒ）が必要になる．すなわち，１９６８８３次元空間上の線形変換の集まりとして初めてモンスターを捉えることができる．
モンスターの発見と構成は２６個の散在型単純群の中でも特異な位置を占めていて，２６個の散在群のうち，２０個がモンスターの部分群として現れるのである．
［補］ケプラー予想
３次元空間の球の充填問題は「ケプラー問題」と呼ばれるものですが，この問題は１９９８年にトマス・ヘールズとファーグソンによって証明されました．これにより「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」ことになります．また，ｎ＝２４のとき，リーチ格子が唯一最密な球の詰め込みを与えることが証明されています（コーン，クマール：２００４年）．
［補］kissing number
ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，
τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０
の６つだけです．τ4＝２４であることが証明されたのは２００３年，ロシアの数学者ミュージンによってです．
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【６】ムーンシャイン現象
次の目標は周期律表に載っていないこれ以外の例外型単純群は存在しないことを証明することであったが，モンスター群が最大の例外型単純群であることがわかったと同時に信じられない驚きが待っていた．有限単純群の分類の完成は，ムーンシャイン予想という予期せぬものを生み出したのである．
マッカイにより，モンスター群（１９６８８３次元）はｊ関数の級数展開
ｊ（ｑ）＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋２０２４５８５６２５６ｑ^4＋・・・
の１つ違いの係数１９６８８４と関係していることがわかった．コンウェイはこの不可解な現象を論理的な理由のわからない，意味のはっきりしないものという趣旨を込めて，モンスターと数論の結びつきをムーンシャインと呼んだ．
オッグは双曲平面に作用し巻き込んで球面にするモジュラー群に対応する素数は２・３・５・７・１１・１３・１７・１９・２３・２９・２１・４１・４７・５９・７１だけであることを示した．
その後，ボーチャーズが現代物理学の弦理論にその原点をもつ頂点作用素代数を用いることによって，これは単なる偶然の一致ではなく，そこに何か真実が隠されていることをつきとめる．これによりモンスター群と数論との明瞭な関係が実証されたことになる．
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