［Ｑ］同じ底面積と高さをもつ２つの三角錐は分解（補充）合同か？　　（ガウスの問題）

　たとえば，単位立方体［０，１］^3を考える．

［１］（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）→trirectangular tetrahedron（Ｔ3）

［２］（０，０，０），（１，０，０），（１，１，０），（１，１，１）→quadrirectangular tetrahedron（Ｔ4）

は同じ底面積と高さをもつ２つの三角錐であるが，これらは分解（補充）合同ではない．

　この結果は「正八面体は立方体に解体再編されない」ということと等価である．なぜならＴ3は正八面体の１／８，Ｔ4は立方体の１／６であるからである．

　また，正四面体の二面角δ4と正八面体の二面角δ8は補角

　　δ4＋δ8＝π

であるから，「正四面体は立方体に（たとえ同じ体積をもっていたとしても）解体再編されない」ということとも等価である．　　（デーンの定理）

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【１】デーンの定理の証明

　　δ4＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）

　　ｍδ4＝ｌ・π／２＋ｋπ

　　ｍδ4＝ｎπ

となる自然数ｍ，ｎが存在するとして矛盾を導き出してみたい．

　　ｚ＝ｃｏｓδ4＋ｉｓｉｎδ4＝１／３＋ｉ√８／３

　　３ｚ−１＝ｉ√８

　　９ｚ^2＋６ｘ＋１＝−８

　　３ｚ^2＝２ｚ−３

　一般に

　　３^k-1ｚ^k＝ａｚ＋ｂ，ａ≠０

とかけるが，たとえば，ｋ＝２のとき，ａ＝２，ｂ＝３でａは３で割れない．

　すると帰納的に

　　３^kｚ^k+1＝３ｚ（ａｚ＋ｂ）＝３ａｚ^2＋３ｂｚ＝２ａｚ−３ａ＋３ｂｚ

＝（２ａ＋３ｂ）ｚ−３ａ，２ａ＋３ｂも３で割れない．

　ｍδ4＝ｎπが成立するとすると，あるＮに対して

　　ｚ^Ｎ＝１

となり，

　　３^Ｎ＝ａｚ＋ｂ

虚部の比較によりａ＝０となり矛盾．

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【２】正多面体の元素定理（デーンの定理の拡張）

　　δ4＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）

　　δ8＝ａｒｃｃｏｓ（−１／３）

　　δ12＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／５）

　　δ20＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／３）

　　ｍ1δ4＋ｍ2δ8＋ｍ3δ12＋ｍ4δ20＝ｎπ

を考えたいのであるが，（ｍ1，ｍ2，ｍ3，ｍ4）＝（１，１，０，０）のとき成り立ってしまうので，δ8＝π−δ4より，

　　ｍ1δ4＋ｍ2（π−δ4）＋ｍ3δ12＋ｍ4δ20＝ｎπ

　　（ｍ1−ｍ2）δ4＋ｍ3δ12＋ｍ4δ20＝（ｎ−ｍ2）π

　これをあらためて

　　ｍ1δ4＋ｍ2δ12＋ｍ3δ20＝ｎπ

を考えることにする．

　直観的にδ4，δ12，δ20は線形独立に見えるかもしれない．歴史上も，たとえばａｒｃｃｏｓ（√３／２τ）の値が直角と有理比でないことを自明としている論文がみられるが，これでは不備である（不完全な証明）．厳密に証明するならば，やはり複素数を使うのがよいだろう．

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