ｋ→∞のとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓｘ／２^k

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（１＋２ｃｏｓｘ／３^k）／３

が成り立つが，後者に関しては，

　　ｓｉｎｘ／ｘ

＝Π（１−４／３ｓｉｎ^2ｘ／３^k）

＝Π（４／３ｃｏｓ^2ｘ／３^k−１／３）

のままでも成り立つし，その方が因数分解の必要がなく，一般化する際に便利である．

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　　ｓｉｎｘ＝３ｓｉｎｘ／３−４ｓｉｎ^3ｘ／３

　　　　　　＝３ｓｉｎｘ／３（１−４／３ｓｉｎ^2ｘ／３）

　　　　　　＝３ｓｉｎｘ／３（４／３ｃｏｓ^2ｘ／３−１／３）

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（４ｃｏｓ^2ｘ／４^k−１）／３

　　ｓｉｎｘ＝８ｓｉｎｘ／４ｃｏｓ^3ｘ／４−４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４

＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４｛２ｃｏｓ^2ｘ／４−１｝

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓｘ／４^k（２ｃｏｓ^2ｘ／４^k−１）

　　ｓｉｎｘ＝１６ｓｉｎ^5ｘ／５−２０ｓｉｎ^3ｘ／５＋５ｓｉｎｘ／５

＝ｓｉｎｘ／５（１６ｓｉｎ^4ｘ／５−２０ｓｉｎ^2ｘ／５＋５）

＝ｓｉｎｘ／５（１６ｃｏｓ^4ｘ／５−１２ｃｏｓ^2ｘ／５＋１）

＝５ｓｉｎｘ／５（１６ｃｏｓ^4ｘ／５−１２ｃｏｓ^2ｘ／５＋１）／５

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（１６ｃｏｓ^4ｘ／５^k−１２ｃｏｓ^2ｘ／５^k＋１）／５

　　ｓｉｎｘ＝３２ｓｉｎｘ／６ｃｏｓ^5ｘ／６−３２ｓｉｎｘ／６ｃｏｓ^3ｘ／６＋６ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６

＝ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６（３２ｃｏｓ^4ｘ／６−３２ｃｏｓ^2ｘ／６＋６）

＝６ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６（３２ｃｏｓ^4ｘ／６−３２ｃｏｓ^2ｘ／６＋６）／６

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓｘ／６^k（３２ｃｏｓ^4ｘ／６^k−３２ｃｏｓ^2ｘ／６^k＋６）／６

　　ｓｉｎｘ＝−６４ｓｉｎ^7ｘ／７＋１１２ｓｉｎ^5ｘ／７−５６ｓｉｎ^3ｘ／７＋７ｓｉｎｘ／７

＝−ｓｉｎｘ／７（６４ｓｉｎ^6ｘ／７−１１２ｓｉｎ^4ｘ／７＋５６ｓｉｎ^2ｘ／７−７）

＝ｓｉｎｘ／７（６４ｃｏｓ^6ｘ／７−８０ｃｏｓ^4ｘ／７＋２４ｃｏｓ^2ｘ／７−１）

＝７ｓｉｎｘ／７（６４ｃｏｓ^6ｘ／７−８０ｃｏｓ^4ｘ／７＋２４ｃｏｓ^2ｘ／７−１）／７

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（６４ｃｏｓ^6ｘ／７^k−８０ｃｏｓ^4ｘ／７^k＋２４ｃｏｓ^2ｘ／７^k−１）／７

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