■置換多面体の空間充填性(その327)

 n桁のワイソフコードを(0・・10・・10・・0)とするi番目とj番目が1で,それ以外は0である.

 正単体系の場合,

[1]頂点に集まる辺数は

  i(j−i)+(j−i)(n−j)+(j−i)

[2]頂点に集まるファセット数は

  i+Σ(j−i,k)+(n−j+1),k=1〜j−i−1

=i+2^(j-i)−2+(n−j+1)

=i+(j−i,1)+(j−i,2)+・・・+(j−i,j−i−1)+(n−j+1)

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 また,正単体切頂切稜型のペトリー多面体の頂点に集まるk次元面は

  (n−1,k)2^k

で計算できる.

 i=1,j=nとおくと,

[1]頂点に集まる辺数は

  2(n−1)

[2]頂点に集まるファセット数は

  i+Σ(j−i,k)+(n−j+1),k=1〜j−i−1

=i+2^(j-i)−2+(n−j+1)

=1+2^(n-1)−2+1=2^(n-1)

で合致しているが,補間した結果が

  (n−1,k)2^k

にならなければならない.

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