（その２１）のヘロンの公式において，

　　４（ａ＋ｂ＋ｃ）^2ｒ^2＝２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）

の右辺を因数分解は意外に難儀した経験がある．久しぶりに試みてみたい．

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右辺＝−１／２｛（ａ^2−ｂ^2）^2＋（ｂ^2−ｃ^2）^2＋（ｃ^2−ａ^2）^2｝＋（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）

とすると，うまくいかない．

右辺＝−｛（ａ^2−ｂ^2）^2＋（ｂ^2−ｃ^2）^2＋（ｃ^2−ａ^2）^2｝＋ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4

＝ａ^4−（ｂ^2−ｃ^2）^2＋ｂ^4−（ｃ^2−ａ^2）^2＋ｃ^4−（ａ^2−ｂ^2）^2

＝（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）＋（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）（ｂ^2−ｃ^2＋ａ^2）＋（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）（ｃ^2−ａ^2＋ｂ^2）

＝（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）＋（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）（ｂ^2−ｃ^2＋ａ^2）＋（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）（ｃ^2−ａ^2＋ｂ^2）

としても，うまくいかない．

　そこで，ａについて整理すると

右辺＝−ａ^4＋２（ｂ^2＋ｃ^2）ａ^2−（ｂ^2−ｃ^2）^2

＝−ａ^4＋２（ｂ^2＋ｃ^2）ａ^2−（ｂ＋ｃ）^2（ｂ−ｃ）^2

＝−｛ａ^2−（ｂ＋ｃ）^2｝｛ａ^2−（ｂ−ｃ）^2｝

＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ−ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）

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［まとめ］ヘロンの公式とは、

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

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