■4次元の雪,5次元の雪,6次元の雪,・・・(その4)

 高次元の雪の二胞角を計算してみたい.

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【1】高次元FCC結晶

 正軸体の頂点

  P1(1,0,・・・,0)

  P2(0,1,・・・,0)

  ・・・・・・・・・・・

  Pn(0,0,・・・,1)

 切頂により,辺の中点が頂点になる.

  Q1(1/2,1/2,0,・・・,0,0)

  Q2(0,1/2,1/2,・・・,0,0)

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  Q2(0,0,0,・・・,1/2,1/2)

  OQ1=1/√2

  OQ2=1/√2

  cosθ=1/2

したがって,FCC結晶の二胞角はその補角であるから,次元に関わらず120°となる.

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【2】高次元HCP結晶

 正単体の基本単体を(0,a1,・・・,an)とする.

  aj=√2/j(j+1),yj=xj/aj

  (1−y1)/√(1/a1^2)=(yn-1−yn)/√(1/an-1^2+1/an^2)=L

  y1−y2=y2−y3=・・・=yn-2−yn-1=0

  y1=y2=・・・=yn-1,y0=1,yn=0

  a1=1

  1/an-1^2+1/an^2=(n−1)n/2+n(n+1)/2=n^2

  (1−y1)=y1/n,y1=n/(n+1)=y2=・・・=yn-1

  L=1/(n+1),y1−1=−L

 頂点の座標は

  Q1(a1y1,a2y2,・・・,anyn)

もう一つの頂点は

  Q2(a1y1+2L,a2y2,・・・,anyn)

  O(a1,・・・,an)

  OQ1(a1(y1−1),a2(y2−1),・・・,an(yn−1))

=(−La1,・・・・,−Lan-1,−an)

  OQ2(a1(y1−1)+2L,a2(y2−1),・・・,an(yn−1))

=(−La1+2L,・・・・,−Lan-1,−an)

  OQ1^2=L^2{a1^2+・・・+an-1^2}+an^2

={1/(n+1)}^2{2/1・2+・・・+2/(n−1)n}+2/n(n+1)

=2{1/(n+1)}^2・{1−1/n}+2/n(n+1)

=2(n−1)/n(n+1)^2+2/n(n+1)

=4/(n+1)^2

  OQ2^2=L^2{a1^2+・・・+an-1^2}+an^2+4La1(y1−1)+4L^2

=4/(n+1)^2

  OQ1・OQ2={a1^2(y1−1)^2+a2^2(y2−1)^2+・・・+an^2(yn−1)^2}+an^2+2La1(y1−1)

=L^2{a1^2+・・・+an-1^2}+an^2−2L^2

=4/(n+1)^2−2/(n+1)^2

=2/(n+1)^2

  cosθ=1/2

したがって,HCP結晶の二胞角はその補角であるから,次元に関わらず120°となる.

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