ビリヤード球が立方体の内部で各面で１回ずつ反射して，常に同じ軌道をぐるぐると周り続けることは可能だろうか？　これは可能であって，そのような有限閉多角形はケーニッヒ・ズクス多角形（Ｋ・Ｓ多角形）と呼ばれる．

　スタインハウスが発見した例は各面を３×３に分割した升目の角をイス型に巡回するもの（１：２の比に対角線を分割する閉六角形）である．４つの側面の中心と底面，上面の対角線を１：３の比に分割する閉八角形も驚くほど簡単な例である．

　２つの軌道に共通する特徴は立方体に内接する正四面体の辺上（ケプラーの八角星）を通るということであり，最大認容的開立方体

　　‖ｘ−ｃ‖∞＜１／３

に巻きつく巡回軌道になっている．

　（その３）では，Ｋ・Ｓ多面体

　　ｘ1＝＜ｔ＞

　　ｘ2＝＜ｓ＞

　　ｘ3＝＜ａ−ｔ−ｓ＞　　　（０＜ａ＜１）

の相貫体の表面積はａに依存せず，４√３になることを述べた．今回のコラムでは，閉六角形と閉八角形の２つのＫ・Ｓ多角形の周長が等しいかどうか調べてみることにした．

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【１】閉六角形の巡回軌道

　　Ｐ1（１／３，１／３，１）

　　Ｐ2（２／３，０，２／３）

　　Ｐ3（１，１／３，１／３）

　　Ｐ4（２／３，２／３，０）

　　Ｐ5（１／３，１，１／３）

　　Ｐ6（０，２／３，２／３）

　　ｘ1＝＜ｖ1ｔ＋ａ1＞

　　ｘ2＝＜ｖ2ｔ＋ａ2＞　　　（−∞＜ｔ＜∞）

　　ｘ3＝＜ｖ3ｔ＋ａ3＞

が閉かつ有限多角形（ケーニッヒ・ズクス多角形，Ｋ・Ｓ多角形）であるための必要十分条件はｖ1，ｖ2，ｖ3が３つの有理数に比例していることである．

　閉六角形の巡回軌道の場合，

　　Ｐ1Ｐ2＝（１／３，−１／３，−１／３）

より，初期運動は

　　ｘ1＝１／３ｔ＋１／３

　　ｘ2＝−１／３ｔ＋１／３

　　ｘ3＝−１／３ｔ＋１

　ｔを３ｔで置き換えて（ｖ1＝１，ｖ2＝−１，ｖ3＝−１）

　　ｘ1＝＜ｔ＋１／３＞

　　ｘ2＝＜−ｔ＋１／３＞　　　（−∞＜ｔ＜∞）

　　ｘ3＝＜−ｔ＋１＞

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【２】閉八角形の巡回軌道

　　Ｐ1（１／４，３／４，１）

　　Ｐ2（１／２，１，１／２）

　　Ｐ3（３／４，３／４，０）

　　Ｐ4（１，１／２，１／２）

　　Ｐ5（３／４，１／４，１）

　　Ｐ6（１／２，０，１／２）

　　Ｐ7（１／４，１／４，０）

　　Ｐ8（０，１／２，１／２）

　また，Ｋ・Ｓ多角形はｔを４ｔで置き換えて（ｖ1＝１，ｖ2＝１，ｖ3＝−２）　　ｘ1＝＜ｔ＋１／４＞

　　ｘ2＝＜ｔ＋３／４＞　　　（−∞＜ｔ＜∞）

　　ｘ3＝＜−２ｔ＋１＞

と書くことができる．

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【３】まとめ

　閉六角形の巡回軌道の周長は２√３，相貫体を考えると２√３×４＝８√３になる．それに対して，閉八角形の巡回軌道の周長は２√６，相貫体を考えると２√６×４＝８√６になる．

　正方形ビリヤードでは周期軌道の長さは軌道により異なるが，立方体ビリヤードでも同様である．この結果は驚きではない．むしろ，Ｋ・Ｓ多面体

　　ｘ1＝＜ｔ＞

　　ｘ2＝＜ｓ＞

　　ｘ3＝＜ａ−ｔ−ｓ＞　　　（０＜ａ＜１）

の相貫体の表面積がａに依存せず，４√３になることのほうが驚くに値することなのである．

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