今回のコラムでは（その１）で書き足りなかった問題を補足して掲載することにしたい．
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【１】レンガのブロック積み
立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．このことはこれ以上説明するまでもないだろう．次に，立方体を１つおきに黒と白に塗り分けて市松模様をつくる．その後で黒立方体を除いてみると，空になった隙間を白立方体の正方形を底面とし隙間の中心を頂点とする６つの四角錐に分けられることに気づくだろう．
白い立方体と６つの四角錐を一緒にすると菱形十二面体ができあがる．空間全体を菱形十二面体で埋めつくすことができるから，菱形十二面体も空間充填多面体である．菱形十二面体の頂点には４つの立体が出会うものと６つの立体が出会うものの２種類あることになる．
どの頂点でも最低４つの多面体が出会わなければならないというのがルベーグの舗石定理である．３つでは不可能であるから当たり前だといわれるかもしれないが，それでは，
［Ｑ］すべての頂点で４つの多面体が出会うことは可能だろうか？
このような多面体を見つけるためにレンガのブロック積みを考える．３つのレンガが１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべてのレンガは６つのレンガに接することがわかる．２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目のレンガのすべての頂点を２段目のレンガで覆うようにずらして積み重ねると，１段目のレンガの上には４つのレンガが載ることになる．
３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４のレンガに接することになる．このことからレンガは元々１４面体であって，それが普通のレンガの形に圧縮されたものと考えることができる．
元々の圧縮されない形を考えると切頂八面体に到達するが，切頂八面体はすべての頂点に３つの辺が集まる単体的多面体である．そのため，切頂八面体が空間を合同な部分に分割する際，どの頂点でも４つの切頂八面体が出会うようになっていて，安定かつ面数が最大の空間充填多面体となるのである．
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【２】ブロック模型の破綻
２次元空間充填の基本形は６角形，３次元空間充填多面体の基本形は１４面体となるのだが，それでは
［Ｑ］４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？
しかし，ここに落とし穴がある．ｎ次元では２次元，３次元同様のレンガのブロック積みを考えてもうまくいかないのである．
ｎ次元空間充填ではどの頂点でも最低ｎ＋１個の多面体が出会わなければならない（ルベーグの舗石定理）．すべての頂点でｎ＋１個の多面体が出会う場合，ｎ次元ボロノイ細胞の１個の頂点の周りにｎ個のｎ−１次元面が集まることがわかる．すなわち，単体的多面体である．
このことからｎ次元空間充填ではｎ次元立方体ではなく，ｎ次元正単体をイメージしたほうがわかりやすくなる．３次元空間でいえば，立方体を直接切頂して切頂八面体を作るのではなく，正四面体を切稜・切頂した図形として切頂八面体を作る操作となる．ｎ次元の空間充填図形が立方格子を基にして導出されるという考え方からすれば，この考察は頗る意外なものであろう．
定量的に表現すると，立方体には２ｎ個の面があり，それに対して正単体の面数はｎ＋１である．２つの正単体を底面で２つ併せることによって，面数は
２（ｎ＋１）−２＝２ｎ
となるが，これは立方体の面数に等しい．
そして，ボロノイベクトルにはボロノイ細胞のｎ−１次元超平面の中心を通過するものがｎ個，ｎ−１次元超平面の辺（ｎ−２次元超平面）を通過するものがｎ（ｎ−１）／２個，ｎ−１次元超平面の角（ｎ−３次元超平面）を通過するものがｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６個，・・・で計２^n−１個，これが２つ併合されているから計２（２^n−１）個のボロノイベクトルがあることになる．
そして，これが圧縮されるとボロノイベクトルの数だけ面ができる．このことは，正単体を切稜・切頂することをイメージするとよいだろう．ともあれ，２次元の場合は正三角形を切頂した図形（台形）を２つ併せて正六角形になり，３次元の場合は正四面体を切稜・切頂すると正四面体の頂点は六角形，辺は四角形になるから，この図形を２つ併せると切頂八面体が得られる．同様に，４次元ではこの操作により頂点は切頂八面体，辺は六角柱の３０胞体となる．
このように４次元の空間充填の基本形は３０胞体となるのだが，一般にｎ次元空間の空間充填多胞体は正（ｎ＋１）胞体（構成要素数：２^n−１）を切稜・切頂した図形を２つ併せることによって得られる２（２^n−１）胞体である．この多胞体は安定かつ面数が最大の空間充填多胞体となる（コンウェイの舗石定理）．
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ボロノイベクトルを使うと面の形を知ることもできることがおわかり頂けたであろうか．３次元では４組（８枚）の六角形面と３組（六枚）の四角形面からなる１４面体が得られる．３次元空間を充填するとき，切頂八面体は各頂点の周りに４個ずつ集まる．１点に４個の多面体が会すると頂点や辺だけで接している多面体がなくなり，ボロノイ分割に対して安定となる．
４次元では５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まることになるのである．
ここで「ｎ次元の舗石定理」をまとめておきたい．
［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．
［２］ｎ＋１個のとき，ボロノイ細胞の面数は最大２（２^n−１）個で，安定な空間充填となる（コンウィイ）．
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【３】５角形面への変換
［Ｑ］同じ体積の泡が集まっているときに，境界面積が最小となる泡の形は何だろうか？
水和物の世界では，単独の空間充填多面体としてケルビンの１４面体（４^6６^8：α１４面体）やウィリアムズの１４面体（４^2５^8６^4：β１４面体），２種類以上の多面体（曲面）の組合せによる空間充填としてはウィアの１２面体・１４面体の組合せ（５^12＋５^12６^2）以外にも１２面体（５^12）と１６面体（５^12６^4）の２種類の組合せ，１２面体（５^12），１２面体（４^3５^6６^3），２０面体（５^12６^8）の３種類の組合せの知られている．
このことから，等積空間充填多面体では５角形の頻度が最も高いと事実を窺い知ることができるだろう．それに対して，切頂八面体を含むケルビンの１４面体はまったく５角形面をもたない．１４面体の面のかたちについては，オイラーの多面体定理より必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが計算されるのだが，
［Ｑ］どうして５角形の頻度が高くなるのだろうか？
たとえば，α１４面体（４^6６^8）の２つの［４，６，６］型頂点を連結した屋根状部分を９０°回転させて［５，５，５］型頂点に組み替える位相幾何学的変換を行うと８個の五角形，４個の六角形，２個の四角形の面をもつβ１４面体（４^2５^8６^4）ができあがる．
すべての面が六角形であるような多面体は存在しない．蜂の巣状六角形タイル貼りに五角形タイルを１つ入れるとその部分が盛り上がった曲面となる．五角形タイルの数を増やしていって１２枚になったところで閉じた多面体となる．すなわち，６角形面を５角形面に変換することは平面構造からから球面構造への変換に繋がるものである．
真空中はともかく，水中の空間分割では丸くなることが重要な物理的要請になっていると考えられる．このような位相幾何学的変換によって，側面に５角形を有する効率の良い空間分割を実現しているものと想像されるのである．
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［補］ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．たとえば，正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．
同様に，双対立方体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ
となります．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はオイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．
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